【动态规划】DP状态机(UP20210815)
DP状态机
DP状态机这类问题往往是强调某一个阶段和上一个阶段之间的联系，且一个阶段里面有多种状态（比如说“有”和“无”）。
- 比如我在第10天时候持有一张蜜雪冰城的股票，然后把时间拨回到以前，看一下第9天有没有这张股票。如果说我在第9天的时候没有这张股票，那么就意味着其实我是在第10天的时候按第10天当天市场的价格买入这张股票的；而如果说我在第9天的时候就拥有了这张股票的话，那么我第10天的股票就继承于第九天（或者说是得到于第9天及第9天之前）
大盗阿福
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。
第二行是 NN 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。
每家店铺中的现金数量均不超过1000。
输出格式
对于每组数据，输出一行。
该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
数据范围
1≤T≤501≤T≤50,
1≤N≤1051≤N≤105
输入样例
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14
输出样例
8
24
样例解释
对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。
对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,t;
cin>>t;
for(int i=0;i<t;i++)
{
int n;
cin>>n;
int m[n+1];
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>m[j];
int f[n+1][1];
for(int j=0;j<n+1;j++)
for(int k=0;k<=1;k++)
f[j][k]=0;
//0表示没有抢，1表示抢了
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=0;k<=1;k++)
{
f[j][0]=max(f[j-1][1],f[j-1][0]);
f[j][1]=f[j-1][0]+m[j];
}
cout<<max(f[n][0],f[n][1])<<endl;
}
return 0;
}
股票买卖 IV
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
输入格式
第一行包含整数 N 和 k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易数量。
第二行包含 N个不超过 1000010000 的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1≤N≤10的5次方
1≤k≤100
设
f[i][j][0/1]表示只考虑前i支股票，买卖了j次，当前没有/有股票的最大收益
思路：
如果当前持有股票（持仓），则有两种可能，第一种是这张股票是来自上一轮的，或者这张股票是当前这个阶段买入的。
f[i][j][1]=max(f[i-1][j][0]-w[i],f[i-1][j][1]);
如果当前没有持有股票，也有两种可能，第一种是刚刚卖出上一轮的股票（此时算完成一次交易），并返回资金，得到收益，第二种可能是
f[i][j][0]=max(f[i-1][j-1][1]+w[i],f[i-1][j][0]);
- 第n天的决策加上前n-1天积累的结果形成第n天的结果。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,k;
cin>>n>>k;
int w[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>w[i];
}
int f[n+1][k+1][2];
memset(f,-0x3f,sizeof(f));
f[0][0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=k;j++)
{
f[i][j][1]=max(f[i-1][j][0]-w[i],f[i-1][j][1]);
if(j>=1)
f[i][j][0]=max(f[i-1][j-1][1]+w[i],f[i-1][j][0]);
else f[i][j][0]=f[i-1][j][0];
}
}
int maxn=f[n][0][0];
for(int i=1;i<=k;i++)
if(maxn<f[n][i][0])
maxn=f[n][i][0];
cout<<maxn;
return 0;
}
股票买卖 V
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i个数字表示一个给定股票在第 i天的价格。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
输入格式
第一行包含整数 NN，表示数组长度。
第二行包含 NN 个不超过 1000010000 的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1≤N≤10的5次方
输入样例
5
1 2 3 0 2
输出样例：
3
样例解释
对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 2-1 = 1，第二笔交易可得利润 2-0 = 2，共得利润 1+2 = 3。
思路
- 分持有，无，冷冻三种状态
- 注意状态的延续
- 判断好此状态对应的前一种状态
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
int w[n+5];
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
int f[n+1][4];
memset(f,-0x3f,sizeof(f));
f[0][0]=0;
//0表示无（非冷冻），1表示持有
//2表示冷冻
//冷冻的前一天是持有
//持有的前一天是无，可以是持有，但不能是冷冻（因为冷冻是没有办法进行购物的）
//无的前一天是冷冻或者无。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][2]=f[i-1][1]+w[i];
f[i][1]=max(f[i-1][0]-w[i],f[i-1][1]);
f[i][0]=max(f[i-1][2],f[i-1][0]);
}
cout<<max(f[n][0],f[n][2]);
return 0;
}
