【BZOJ4373】算术天才⑨与等差数列 [线段树]
算术天才⑨与等差数列
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Description
算术天才⑨非常喜欢和等差数列玩耍。
有一天，他给了你一个长度为n的序列，其中第i个数为a[i]。
他想考考你，每次他会给出询问l,r,k，问区间[l,r]内的数从小到大排序后能否形成公差为k的等差数列。
当然，他还会不断修改其中的某一项。
为了不被他鄙视，你必须要快速并正确地回答完所有问题。
注意：只有一个数的数列也是等差数列。
Input
第一行包含两个正整数n,m，分别表示序列的长度和操作的次数。
第二行包含n个整数，依次表示序列中的每个数a[i]。
接下来m行，每行一开始为一个数op，
若op=1，则接下来两个整数x,y，表示把a[x]修改为y。
若op=2，则接下来三个整数l,r,k，表示一个询问。
在本题中，x,y,l,r,k都是经过加密的，都需要异或你之前输出的Yes的个数来进行解密。
Output
输出若干行，对于每个询问，如果可以形成等差数列，那么输出Yes，否则输出No。
Sample Input
5 3
1 3 2 5 6
2 1 5 1
1 5 4
2 1 5 1
1 3 2 5 6
2 1 5 1
1 5 4
2 1 5 1
Sample Output
No
Yes
Yes
HINT
1<=n,m<=300000, 0<=a[i]<=10^9, 1<=x<=n，0<=y<=10^9, 1<=l<=r<=n, 0<=k<=10^9
Solution
显然，如果可以组成等差数列，首项必定是区间最小值。这样我们就知道了要求的等差数列的首项和公差。
一个首先的想法就是：我们判断一下区间和是否等于所要求的等差数列的和。
但是这样显然是不够的，那么怎么办呢？我们试想：能否求出所要求的等差数列的平方和？
显然公差为 1 的时候用平方和公式计算，剩下公差不是 1 的时候我们轻易推一下式子即可。
那么我们只要用线段树维护一下：区间最小值、区间和、区间平方和即可，资磁单点修改。
正确性不会证明啊，但是满足的概率应该挺大的吧qwq
Code
1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 #include<algorithm>
4 #include<cstdio>
5 #include<cstring>
6 #include<cstdlib>
7 #include<cmath>
8 #include<queue>
9 using namespace std;
10 typedef long long s64;
11
12 const int ONE = 500005;
13 const int INF = 1e9+7;
14
15 int n, T;
16 s64 a[ONE];
17 int opt, x, y, d;
18 int num;
19
20 struct power
21 {
22 s64 sumx, sumxx, minx;
23 }Node[ONE * 4], res;
24
25 int get()
26 {
27 int res=1,Q=1;char c;
28 while( (c=getchar())<48 || c>57 )
29 if(c=='-')Q=-1;
30 res=c-48;
31 while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
32 res=res*10+c-48;
33 return res*Q;
34 }
35
36 void Renew(int i)
37 {
38 int a = i<<1, b = i<<1|1;
39 Node[i].sumx = Node[a].sumx + Node[b].sumx;
40 Node[i].sumxx = Node[a].sumxx + Node[b].sumxx;
41 Node[i].minx = min(Node[a].minx, Node[b].minx);
42 }
43
44 void Build(int i, int l, int r)
45 {
46 Node[i].minx = INF;
47 if(l == r)
48 {
49 Node[i].minx = a[l];
50 Node[i].sumx = a[l];
51 Node[i].sumxx = a[l] * a[l];
52 return;
53 }
54
55 int mid = l + r >> 1;
56 Build(i<<1, l, mid); Build(i<<1|1, mid+1, r);
57 Renew(i);
58 }
59
60 void Update(int i, int l, int r, int L, s64 x)
61 {
62 if(l > r) return;
63 if(L == l && l == r)
64 {
65 Node[i].minx = x;
66 Node[i].sumx = x;
67 Node[i].sumxx = x * x;
68 return;
69 }
70
71 int mid = l + r >> 1;
72 if(L <= mid) Update(i<<1, l, mid, L, x);
73 else Update(i<<1|1, mid+1, r, L, x);
74 Renew(i);
75 }
76
77 void Query(int i, int l, int r, int L, int R)
78 {
79 if(L <= l && r <= R)
80 {
81 res.minx = min(res.minx, Node[i].minx);
82 res.sumx += Node[i].sumx;
83 res.sumxx += Node[i].sumxx;
84 return;
85 }
86
87 int mid = l + r >> 1;
88 if(L <= mid) Query(i<<1, l, mid, L, R);
89 if(mid+1 <= R) Query(i<<1|1, mid+1, r, L, R);
90 }
91
92 s64 Calc_sumx(s64 a0, s64 n, s64 d)
93 {
94 s64 an = a0 + (n-1) * d;
95 return (a0 + an) * n / 2;
96 }
97
98 s64 Calc_sumxx(s64 a0, s64 n, s64 d)
99 {
100 s64 item1 = n * a0 * a0;
101 s64 item2 = 2 * a0 * d * n * (n-1) / 2;
102 s64 item3 = d * d * (n * (n+1) * (2*n+1) / 6 - n*n);
103 return item1 + item2 + item3;
104 }
105
106 int main()
107 {
108 n = get(); T = get();
109 for(int i=1; i<=n; i++)
110 a[i] = get();
111 Build(1, 1, n);
112
113 while(T--)
114 {
115 opt = get();
116 x = get() ^ num; y = get() ^ num;
117
118 if(opt == 1)
119 {
120 Update(1, 1, n, x, y);
121 continue;
122 }
123 else
124 {
125 d = get() ^ num;
126 res.minx = INF;
127 res.sumx = res.sumxx = 0;
128 Query(1, 1, n, x, y);
129
130 if(res.sumx == Calc_sumx(res.minx, y-x+1, d))
131 if(res.sumxx == Calc_sumxx(res.minx, y-x+1, d))
132 {
133 printf("Yes\n");
134 num++;
135 continue;
136 }
137
138 printf("No\n");
139 }
140 }
141
142 }
