【BZOJ3029】守卫者的挑战 [期望DP]

守卫者的挑战

Time Limit: 2 Sec  Memory Limit: 128 MB
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　打开了黑魔法师Vani的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押applepi的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K的包包。
　　擂台赛一共有N项挑战，各项挑战依次进行。第i项挑战有一个属性ai，如果ai>=0，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为ai的包包；如果ai=-1，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为1 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功L次才能离开擂台。
　　队员们一筹莫展之时，善良的守卫者Nizem帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第i项挑战成功的概率为pi%。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

Input

　　第一行三个整数N,L,K。
　　第二行N个实数，第i个实数pi表示第i项挑战成功的百分比。
　　第三行N个整数，第i个整数ai表示第i项挑战的属性值.

Output

　　一个整数，表示所求概率，四舍五入保留6 位小数。

Sample Input

　　5 1 2
　　36 44 13 83 63
　　-1 2 -1 2 1

Sample Output

　　0.980387

HINT

　　0<=K<=2000，0<=N<=200，-1<=ai<=1000，0<=L<=N，0<=pi<=100。

Main idea

　　挑战成功第 i 次会获得一个 ai 的贡献，挑战成功的概率是 pi，初始已经有K的贡献，问至少挑战成功 L 次且贡献>=0 的概率。

Solution

　　简单的期望DP，由于n只有200，显然我们直接令 f[i][j][k] 表示 前 i 个挑战，胜利了 j 次，当前贡献为 k 的概率即可，然后转移一下。

　　由于贡献最小只可能是-1，所以 k>=n 的时候剩下的贡献必然都>=0，所以我们上限调整为n即可，中间可能有负数，+200来实现储存。

Code

 #include<iostream>  
#include<string>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>
using namespace std; 
    
const int ONE = 205;
    
int n,Limit,K;
int a[ONE];
float p[ONE],Ans;
float f[ONE][ONE][ONE*2]; //i times j win k bag
   
int get() 
{
        int res=1,Q=1;  char c;
        while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
        if(Q) res=c-48; 
        while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
        res=res*10+c-48; 
        return res*Q; 
}
   
int id(int x) {return min(x,n) + 200;}
   
int main()
{
        n=get();    Limit=get();    K=get();
        for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%f",&p[i]), p[i]/=100.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)    a[i]=get();
       
        f[0][0][id(K)] = 1;
        for(int i=0; i<=n-1; i++)
        for(int j=0; j<=i; j++)
        for(int k=-i; k<=n; k++)
        {
            f[i+1][j][id(k)] += f[i][j][id(k)] * (1.0-p[i+1]); // fail
            f[i+1][j+1][id(k+a[i+1])] += f[i][j][id(k)] * p[i+1]; // win
        }
           
        for(int j=Limit; j<=n; j++)
        for(int k=id(0); k<=id(n); k++)
            Ans += f[n][j][k];
           
        printf("%.6f", Ans);
}