【Foreign】最大割 [线性基]
最大割
Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 256 MBDescription
Input
Output
Sample Input
3 6
1 2 1
1 2 1
3 3 111
1 3 101101
1 2 1011
2 3 111011
1 2 1
1 2 1
3 3 111
1 3 101101
1 2 1011
2 3 111011
Sample Output
1
0
0
101101
101101
110000
0
0
101101
101101
110000
HINT
l = log2(w)
Solution
首先我们发现，由于XOR满足消去律，那么我们定义一个新点的点权为该点所有连边的XOR和，那么任意点XOR起来得到的值正是割的值，所以这样操作之后问题就转化为了：任取几个点，求XOR出的最大值，支持点权修改。
那么我们现在显然得到了做法：线性基，并且我们需要维护一个可修改的线性基。
线性基的加入方法：1.从大到小加入，如果这一位没有匹配元则加入当前值当作匹配元，退出；2.如果这一位有匹配元了就XOR完向后继续执行操作，若值=0则退出。
线性基的最值方法：用一个初值为0的Ans串，从大到小贪心，如果这一位有匹配元并且Ans串该位为0则XOR，继续向后。
线性基的维护方法：我们另外记录一个record表示这个基是由哪些值XOR出来的，比如我们要消去b，然后我们就用一个 有bXOR出来且主元最小 的基来消去其它含b的基中的b，其中主元定义为最高位的1，我们让最高位的1最小，这样往上消去的时候依然可以满足XOR出来可以满足线性基的条件性质。然后我们扫一遍，如果含有这个b则XOR一下，并且record要XOR那个基的record，这样才可以保证record的记录不漏。
这道题就是先删除，然后再加入，每次询问求最值即可。
Code
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdlib>
6 #include<cmath>
7 #include<bitset>
8 using namespace std;
9
10 const int ONE = 2001;
11 const int L = 1005;
12
13 int T,n,x,y;
14 int PD;
15 char s[ONE];
16 int Link[ONE];
17
18 bitset <L> record[ONE],A[ONE];
19 bitset <L> Ans,P;
20
21 int get()
22 {
23 int res,Q=1; char c;
24 while( (c=getchar())<48 || c>57)
25 if(c=='-')Q=-1;
26 if(Q) res=c-48;
27 while((c=getchar())>=48 && c<=57)
28 res=res*10+c-48;
29 return res*Q;
30 }
31
32 void Deal_first()
33 {
34 scanf("%s",s+1);
35 int len = strlen(s+1);
36 P.reset();
37 for(int i=1;i<=len;i++)
38 P[L-len+i] = s[i]-'0';
39 }
40
41 void Add(int k)
42 {
43 for(int pos=1;pos<=L;pos++)
44 if(A[k][pos])
45 {
46 if(!Link[pos])
47 {
48 Link[pos] = k;
49 break;
50 }
51 else
52 {
53 A[k] ^= A[Link[pos]];
54 record[k] ^= record[Link[pos]];
55 if(!A[k].any()) break;
56 }
57 }
58 }
59
60 void Update(int x)
61 {
62 int k=0;
63 for(int i=1;i<=n;i++)
64 if(record[i][x] && !A[i].any())
65 {
66 k=i;
67 break;
68 }
69
70 if(!k)
71 {
72 for(int i=L;i>=1;i--)
73 {
74 if(Link[i] && record[Link[i]][x])
75 {
76 k = Link[i];
77 Link[i] = 0;
78 break;
79 }
80 }
81 }
82
83 for(int i=1;i<=n;i++)
84 {
85 if(i!=k && record[i][x])
86 {
87 A[i] ^= A[k];
88 record[i] ^= record[k];
89 }
90 }
91
92 A[k] ^= P; Add(k);
93 }
94
95 int main()
96 {
97 n=get(); T=get();
98 for(int i=1;i<=n;i++) record[i][i] = 1;
99 while(T--)
100 {
101 x=get(); y=get();
102 Deal_first();
103 Update(x); Update(y);
104
105 Ans.reset(); PD=0;
106 for(int i=1;i<=L;i++)
107 {
108 if(Link[i] && !Ans[i]) Ans ^= A[Link[i]];
109 if(Ans[i]) PD=1;
110 if(PD) printf("%d",Ans[i]?1:0);
111 }
112 if(!PD) printf("0");
113 printf("\n");
114 }
115 }
