【Foreign】开锁 [概率DP]

开锁

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Description

　　

Input

　　

Output

　　

Sample Input

　　4
　　5 1
　　2 5 4 3 1
　　5 2
　　2 5 4 3 1
　　5 3
　　2 5 4 3 1
　　5 4
　　2 5 4 3 1

Sample Output

　　0.000000000
　　0.600000000
　　0.900000000
　　1.000000000

HINT

　　

Main idea

　　一个宝箱内有一个可以开启别的宝箱的钥匙，可以选择k个宝箱，询问能开启所有宝箱的概率。

Solution

　　我们一看就知道这是一道概率DP的题目。

　　我们发现，每个宝箱有一个对应的钥匙，那么显然若干个宝箱会构成一个环，只要开了一个环中的一个宝箱就可以开启这个环。

　　那么我们要求的就是：在n个数中选k次，已知每个环的大小，选中环中的一个元素即视为选中了这个环，问每个环都被至少选了一次的概率。

　　显然直接记概率不好计算，于是我们可以算出可行的方案数。

　　我们先求出每个环的大小，然后令 f[i][j] 表示前 i 个环选了 j 个元素的方案数，那么显然可以枚举这一个环中选了几个，那么显然有：

　　然后我们最后用 f[num][k] / 总方案数 C(n,k) 即可。注意要用double来存，否则数字不够大。

Code

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;  

const int ONE=310;
 
int T,n,k;
int a[ONE],vis[ONE],cnt;
int ring[ONE],num;
int record;
double C[ONE][ONE];
double f[ONE][ONE];

int get()
{    
        int res=1,Q=1;char c;
        while( (c=getchar())<48 || c>57 )
        if(c=='-')Q=-1;
        res=c-48;
        while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
        res=res*10+c-48;
        return res*Q;
}

void Solve()
{
        n=get();    k=get();
        
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=get(),vis[i]=0;
        num=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(vis[i]) continue;
            int x=i;
            cnt=0;
            for(;;)
            {
                vis[x]=1; x=a[x]; cnt++;
                if(x==i) break;
            }
            ring[++num]=cnt;
        }
        
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][0]=1; record=0;
        for(int i=1;i<=num;i++)
        {
            record+=ring[i];
            for(int j=1;j<=record;j++)
            {
                for(int x=1;x<=ring[i] && x<=j;x++)
                {
                    f[i][j] += f[i-1][j-x] * C[ring[i]][x];    
                }
            }
        }
        
        cout<<(double)f[num][k]/C[n][k]<<endl;
}

int main()
{
        C[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=300;i++)
        {
            C[i][0]=1;
            for(int j=1;j<=300;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
        }
        
        T=get();
        while(T--)
            Solve();
        
}