【BZOJ2326】【HNOI2011】数学作业 [矩阵乘法][DP]

数学作业

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Description

　　

Input

　　输入文件只有一行为用空格隔开的两个正整数N和M。

Output

　　输出仅包含一个非负整数，表示Concatenate(1~N) MOD M的值。

Sample Input

　　12345678910 1000000000

Sample Output

　　345678910

HINT

　　1<=N<=10^8 , 1<=M<=10^9

Main idea

　　给定一个n,m，创造一个数字顺序连接1~n，输出这个数对m取模的值。

Solution

　　n<=10^18，排除找规律的可能性，立马想到了用矩阵乘法优化DP，令f[i]表示1~i的值，那么：

　　然后我们只要推出矩阵即可，轻松想到了：

　　然后分段矩乘得到答案。

Code

#include<iostream>  
#include<string>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
using namespace std;  
 
const int ONE=5;
 
long long n,MOD;
long long a[ONE][ONE],b[ONE][ONE];
long long Index;
 
 
void Mul(long long a[ONE][ONE],long long b[ONE][ONE],long long ans[ONE][ONE])
{
        long long jilu[ONE][ONE];
        for(int i=1;i<=3;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++)
        {
            jilu[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=3;k++)
            jilu[i][j]=(jilu[i][j] + a[i][k]*b[k][j]%MOD) % MOD;
        }
         
        for(int i=1;i<=3;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++)
        ans[i][j]=jilu[i][j];
}
 
void Matrix(long long a[ONE][ONE],long long b[ONE][ONE],long long t)
{
        while(t)
        {
            if(t&1) Mul(a,b,a);
            Mul(b,b,b);
            t>>=1;
        }
}
 
int main()
{
        cin>>n>>MOD;
        a[1][3]=1;
         
        long long len=1;
        for(;;)
        {
            len*=10;
            memset(b,0,sizeof(b));
            for(int i=1;i<=3;i++)
            {
                for(int j=1;j<=i;j++)
                b[i][j]=1;  
            }
            b[1][1]=len % MOD;
             
            if(len<=n) Index=len-len/10;
            else Index=n-len/10+1;
            Matrix(a,b,Index);
            if(len>n) break;
        }
         
        printf("%lld",a[1][1]);
}