【BZOJ1095】【ZJOI2007】捉迷藏 [动态点分治]
捉迷藏
Time Limit: 40 Sec Memory Limit: 256 MB[Submit][Status][Discuss]
Description
捉迷藏 Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。
他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。
在起初的时候，所有的灯都没有被打开。
每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。
为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
我们将以如下形式定义每一种操作：
C(hange) i 改变第i房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。
Input
第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。
接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。
接着Q行，每行一个操作，如上文所示。
Output
对于每一个操作Game，输出一个非负整数，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。
Sample Input
1 2
2 3
3 4
3 5
3 6
6 7
6 8
7
G
C 1
G
C 2
G
C 1
G
Sample Output
3
3
4
HINT
对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。
Main idea
给定一棵树，有0点或者1点，每次查询最远的两个1点之间的距离，需要支持修改0和1。
Solution
我们先观察一下数据，由于n<=10^5，所以O(n^2)的做法不可行。我们先考虑如何静态查询，首先我们第一反应想到了树形DP，然后发现这种方法无法优化。考虑一下有什么方法是log级别的呢？我们想到了点分，静态点分的做法就是每次取出重心，然后查询最深的1点的深度即可，要如何优化呢？发现如果点分可以动态实现的话就可以AC了。那么现在确定了算法：动态点分治。
我们先从点分的角度来剖析一下，点分其实就相当于每次找到重心，处理和重心有关的路径，然后把重心割掉，将树分为多个小块，这样将所有路径上的信息存到了重心上，降低规模处理问题，有效降低复杂度。那么动态点分治就相当于用线段树处理序列问题一样，在分治的框架上加上了对于每个点的信息维护，对于每个点用堆来维护信息，这样来实现信息的维护与查询。
我们分几步来实现：
1. 建立“重心树”：我们发现我们在点分中重心存着路径的信息，所以我们只要维护跟重心有关的信息就可以了，考虑到分治过程的性质，所以修改了一个点，只会影响到这个点作为一个重心时以上的重心（以下称为“父重心”），所以我们先根据找重心的过程建立一棵“重心树”，一个点（作为重心时）隔开后得到的若干棵子树中的每一个重心的父重心就是这个点（这个点称为“子重心”），所以可以证明这棵树的深度是log级别的。每次只需要修改这个点在重心树中到根的路径上的点。
2. 构建可删堆：由于我们要维护的是最长链，思考静态的时候要维护的就是最大值，那么动态时我们就需要一个数据结构来维护这些最大值，支持更改与删除等操作，我们想到了“堆”，由于这个堆是需要支持删除操作的，这里讨论一下怎么删除：对于每个heap堆再开一个del堆，删除一个点的时候将要删除的值加入到del堆里面，然后调取top的时候如果heap堆和del堆的堆顶是一样的同时pop掉，直到不一样的时候的top就是真正的top了，其余操作类似。
3. 维护信息：对于每个点开两个堆维护信息，第一个c堆维护“这个重心的子树（包括这个重心）到父重心的距离”（求距离用LCA即可），第二个b堆维护“这个重心隔开后的几个子树中的最大深度（也就是子重心c堆的堆顶）”，然后全局开一个A堆维护“每一个b堆的最大值和次大值”，那么显然答案就是堆A的top。
4. 修改操作：这里讨论一下将1点变为0点的操作（0变为1类似），每次修改一个点显然需要直接影响到c堆，将在重心树中到根位置的中的点的c堆中删除掉这个点的值，就会影响到b堆，然后最终影响到A堆。每次修改先删除掉堆A的top，然后在父重心的b堆中删除掉这个点的c堆的top，删除掉这个c堆的top，然后再在父重心的b堆中加入这个点的c堆的top即可，修改的时候再维护一下A堆即可，处理一下细节。
Code
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdlib>
6 #include<cmath>
7 #include<queue>
8 using namespace std;
9
10 const int ONE=100005;
11
12 int n,T;
13 int x,y;
14 int next[ONE*2],first[ONE*2],go[ONE*2],tot;
15 int Dep[ONE],Turnoff[ONE],Light;
16 int fat[ONE];
17 int f[ONE][21];
18 char ch[10];
19
20 int get()
21 {
22 int res,Q=1; char c;
23 while( (c=getchar())<48 || c>57)
24 if(c=='-')Q=-1;
25 if(Q) res=c-48;
26 while((c=getchar())>=48 && c<=57)
27 res=res*10+c-48;
28 return res*Q;
29 }
30
31 int Add(int u,int v)
32 {
33 next[++tot]=first[u]; first[u]=tot; go[tot]=v;
34 next[++tot]=first[v]; first[v]=tot; go[tot]=u;
35 }
36
37
38 struct Heap_deal
39 {
40 priority_queue <int> heap,delet;
41
42 void add(int x) {heap.push(x);}
43 void del(int x) {delet.push(x);}
44 void Pop()
45 {
46 while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
47 {
48 heap.pop();
49 delet.pop();
50 }
51 heap.pop();
52 }
53
54 int Top()
55 {
56 while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
57 {
58 heap.pop();
59 delet.pop();
60 }
61 return heap.top();
62 }
63
64 int SecondTop()
65 {
66 int jilu1=Top(); Pop();
67 int jilu2=Top(); add(jilu1);
68 return jilu2;
69 }
70
71 int Size()
72 {
73 return heap.size()-delet.size();
74 }
75 }A,b[ONE],c[ONE];
76
77 void ADD(Heap_deal &a)
78 {
79 if(a.Size()>=2)
80 {
81 int r1=a.Top();
82 int r2=a.SecondTop();
83 A.add( r1+r2 );
84 }
85 }
86
87 void DEL(Heap_deal &a)
88 {
89 if(a.Size()>=2)
90 {
91 int r1=a.Top();
92 int r2=a.SecondTop();
93 A.del( r1+r2 );
94 }
95 }
96
97 namespace PartLCA
98 {
99 void Deal_first(int u,int father)
100 {
101 Dep[u]=Dep[father]+1;
102 for(int i=0;i<=19;i++)
103 {
104 f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
105 }
106
107 for(int e=first[u];e;e=next[e])
108 {
109 int v=go[e];
110 if(v==father) continue;
111 f[v][0]=u;
112 Deal_first(v,u);
113 }
114 }
115
116 int LCA(int x,int y)
117 {
118 if(Dep[x]<Dep[y]) swap(x,y);
119 for(int i=20;i>=0;i--)
120 {
121 if(Dep[f[x][i]]>=Dep[y]) x=f[x][i];
122 if(x==y) return x;
123 }
124
125 for(int i=20;i>=0;i--)
126 {
127 if(f[x][i]!=f[y][i])
128 {
129 x=f[x][i];
130 y=f[y][i];
131 }
132 }
133 return f[x][0];
134 }
135
136 int dist(int x,int y)
137 {
138 return Dep[x]+Dep[y]-2*Dep[LCA(x,y)];
139 }
140 }
141
142
143 namespace PointF
144 {
145 int Min,center,vis_center[ONE];
146
147 struct power
148 {
149 int size,maxx;
150 }S[ONE];
151
152
153 void Getsize(int u,int father)
154 {
155 S[u].size=1;
156 S[u].maxx=0;
157 for(int e=first[u];e;e=next[e])
158 {
159 int v=go[e];
160 if(v==father || vis_center[v]) continue;
161 Getsize(v,u);
162 S[u].size+=S[v].size;
163 S[u].maxx=max(S[u].maxx,S[v].size);
164 }
165 }
166
167 void Getcenter(int u,int father,int total)
168 {
169 S[u].maxx=max(S[u].maxx,total-S[u].size);
170 if(S[u].maxx<Min)
171 {
172 Min=S[u].maxx;
173 center=u;
174 }
175
176 for(int e=first[u];e;e=next[e])
177 {
178 int v=go[e];
179 if(v==father || vis_center[v]) continue;
180 Getcenter(v,u,total);
181 }
182 }
183
184 void Add_c(int u,int father,int center)
185 {
186 c[center].add(PartLCA::dist(u,fat[center]));
187 for(int e=first[u];e;e=next[e])
188 {
189 int v=go[e];
190 if(v==father || vis_center[v]) continue;
191 Add_c(v,u,center);
192 }
193 }
194
195
196 void New_tree(int u,int Last)
197 {
198 Min=n;
199 Getsize(u,0);
200 Getcenter(u,0,S[u].size);
201 vis_center[center]=1;
202
203 fat[center]=Last;
204 if(Last!=0) Add_c(center,0,center);
205 if(c[center].Size()) b[Last].add(c[center].Top());
206
207 int root=center;
208 for(int e=first[center];e;e=next[e])
209 {
210 int v=go[e];
211 if(vis_center[v]) continue;
212 New_tree(v,root);
213 }
214 }
215 }
216
217 namespace Control
218 {
219 void Turn_off(int x)
220 {
221 for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
222 {
223 DEL(b[fat[i]]);
224 if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
225
226 c[i].del(PartLCA::dist(fat[i],x));
227
228 if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
229 ADD(b[fat[i]]);
230 }
231 }
232
233 void Turn_on(int x)
234 {
235 for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
236 {
237 DEL(b[fat[i]]);
238 if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
239
240 c[i].add(PartLCA::dist(fat[i],x));
241
242 if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
243 ADD(b[fat[i]]);
244 }
245 }
246 }
247
248
249 int main()
250 {
251 n=get();
252 Light=n;
253 for(int i=1;i<=n;i++) Turnoff[i]=1;
254 for(int i=1;i<n;i++)
255 {
256 x=get(); y=get();
257 Add(x,y);
258 }
259
260 PartLCA::Deal_first(1,0);
261 PointF::New_tree(1,0);
262
263 for(int i=1;i<=n;i++) ADD(b[i]);
264
265 T=get();
266 while(T--)
267 {
268 scanf("%s",ch);
269 if(ch[0]=='G')
270 {
271 if(Light==0) printf("-1");
272 else if(Light==1) printf("0");
273 else printf("%d",A.Top());
274 printf("\n");
275 }
276
277 if(ch[0]=='C')
278 {
279 x=get();
280 if(Turnoff[x])
281 {
282 Turnoff[x]=0;
283 Light--;
284 Control::Turn_off(x);
285 }
286 else
287 {
288 Turnoff[x]=1;
289 Light++;
290 Control::Turn_on(x);
291 }
292 }
293 }
294 }
