【BZOJ4031】【HEOI2015】小Z的房间 [Matrix-Tree][行列式]

小Z的房间

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Description

　　你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
　　你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

　　第一行两个数分别表示n和m。
　　接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 　　一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

　　3 3
　　...
　　...
　　.*.

Sample Output

　　15

HINT

　　n,m<=9

Main idea

　　给定n*m的矩形，由0和1构成，每个相邻的0点可连边，询问有几种连边方案使得0点两两相通且路径唯一。

Solution

　　显然想到了题目要求求的就是生成树计数。我们运用Matrix-Tree定理，求出根据Matrix-Tree定理得到的行列式的值即可。关于行列式有如下三条性质，根据②③两条性质，类似高斯消元一样处理就可以得到行列式的值，该值即为最终答案。

　　PS(重点)：

　　(1) Matrix-Tree定理：Kirchhoff矩阵去掉任意一行和任意一列得到的行列式的值=生成树计数，其中Kirchhoff矩阵=“度数矩阵”-“邻接矩阵”。（为了方便处理，通常去掉Kirchhoff矩阵的第n行与第n列）

　　(2) 行列式的性质：
　　① 行列式的值等于只有对角线不为0时对角线的乘积;
　　② 交换行列式的其中任意两行之后(行列式的值)*-1;
　　③ 用行列式的一行减去[另一行*(一个系数)]，行列式的值不变。

Code

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
using namespace std;  
  
const int ONE=2005;
const int MOD=1e9;
 
int n,m;
char ch[ONE]; 
long long a[ONE][ONE];
int Bian[ONE][ONE],tot;
int dx[]={0,1,0,-1};
int dy[]={1,0,-1,0};
 
int get()    
{    
        int res=1,Q=1;char c;    
        while( (c=getchar())<48 || c>57 ) 
        if(c=='-')Q=-1; 
        res=c-48;     
        while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )    
        res=res*10+c-48;    
        return res*Q;    
}
 
long long HLS_value(int n)
{
        int PD=1;
        long long Ans=1;
         
        for(int Now=1;Now<=n;Now++)
        {
            for(int i=Now+1;i<=n;i++)
            {
                long long A=a[Now][Now],B=a[i][Now];
                while(B!=0)
                {
                    long long t=A/B;
                    for(int j=Now;j<=n;j++) a[Now][j]=(long long)(a[Now][j]-(long long)t*a[i][j]%MOD+MOD) % MOD;
                    for(int j=Now;j<=n;j++) swap(a[Now][j],a[i][j]);
                    A%=B; swap(A,B); PD=-PD;
                }
            }
                 
            if(!a[Now][Now]) return 0;
            Ans=Ans*a[Now][Now]%MOD;
        }
        return (PD*Ans+MOD) % MOD;
}
 
int main()  
{      
        n=get();    m=get();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%s",ch+1);
            for(int j=1;j<=m;j++)
            if(ch[j]=='.') Bian[i][j]=++tot;
        }
         
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        if(Bian[i][j])
        {
            for(int k=0;k<=3;k++)
            {
                int x=i+dx[k],y=j+dy[k],u=Bian[i][j],v=Bian[x][y];
                if(!v) continue;
                if(x<1 || x>n || y<1 || y>m)continue;
                a[v][v]=(a[v][v]+1) % MOD;
                a[u][v]=(a[u][v]-1+MOD) % MOD; 
            }
        }
        printf("%lld",HLS_value(tot-1));
         
}