【BZOJ4008】【HNOI2015】亚瑟王 [期望DP]

亚瑟王

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MB
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Description

  小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。
  他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。
  众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。
  作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。
  但他已经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
  本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。
  玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1~n。
  本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
  每张卡牌都有一个技能。
  第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。
  基于现实因素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。
  一局游戏一共有 r 轮。
  在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。
  在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌:
  1 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则
    1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌);
  否则(是最后一张),结束这一轮游戏。
  2 否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张
    2.1 将其以 pi的概率发动技能。
    2.2 如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。
    2.3 如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;
  否则,考虑下一张卡牌。
  请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

 

Input

  输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。
  接下来一共 T 组数据。
  每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。
  接下来 n 行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。
  第 i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动造成的伤害(整数)。
  保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。

 

Output

  对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。
  对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。
  建议输出10位小数。

 

Sample Input

  1
  3 2
  0.5000 2
  0.3000 3
  0.9000 1

Sample Output

  3.2660250000

  一共有 13 种可能的情况:

  1. 第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能;
  概率为 0.15,伤害为5。
  2. 第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能;
  概率为 0.315,伤害为3。
  3. 第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;
  概率为 0.035,伤害为2。
  4. 第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能;
  概率为 0.075,伤害为5。
  5. 第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能;
  概率为 0.0675,伤害为4。
  6. 第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;
  概率为 0.0075,伤害为3。
  7. 第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能;
  概率为 0.1575,伤害为3。
  8. 第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能;
  概率为 0.04725,伤害为4。
  9. 第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;
  概率为 0.11025,伤害为1。
  10. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能;
  概率为 0.0175,伤害为2。
  11. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能;
  概率为 0.00525,伤害为3。
  12. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能;
  概率为 0.011025,伤害为1。
  13. 第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能;
  概率为 0.001225,伤害为0。
  造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。

HINT

  对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < pi < 1, 0 <= di <= 1000。  
  除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 
  请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 

Main idea

  有n个人,r轮游戏,每次从左到右依次进行操作,第i个人有p[i]的概率被选中,被选中了则产生d[i]贡献,结束该轮,询问期望贡献和。

Solution

  期望DP题,转换思想,把所有的机会一起操作。

  f[i][j]表示到第i个人得到了j个机会的概率,显然,如果i得到j个机会那么i-1也至少得到了j个机会。

  如果i-1没有用机会,那么f[i][j]+=f[i-1][j]*p(i-1一个机会都没用),如果i-1用了机会,那么这轮就停止了,f[i][j]+=f[i-1][j+1]*p(i-1至少用了一个机会),因为事实上也只会算一个用掉的机会,所以是不会使得答案错误的。

Code

 1 #include<iostream>  
 2 #include<algorithm>  
 3 #include<cstdio>  
 4 #include<cstring>  
 5 #include<cstdlib>  
 6 #include<cmath>  
 7 using namespace std;  
 8     
 9 const int ONE=221;
10 
11 int T;
12 int n,r;
13 double p[ONE];
14 int d[ONE];
15 double f[ONE][ONE];
16 double Ans;
17 
18 int get() 
19 { 
20         int res,Q=1;    char c;
21         while( (c=getchar())<48 || c>57)
22         if(c=='-')Q=-1;
23         if(Q) res=c-48; 
24         while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
25         res=res*10+c-48; 
26         return res*Q; 
27 }
28 
29 double Quick(double a,int b)
30 {
31         double res=1.00;
32         while(b)
33         {
34             if(b&1) res=res*a;
35             a=a*a;
36             b>>=1;
37         }
38         return res;
39 }
40 
41 int main()
42 {      
43         T=get();
44         while(T--)
45         {
46             Ans=0;    
47             memset(f,0,sizeof(f));
48             n=get();    r=get();
49             for(int i=1;i<=n;i++)
50             {
51                 scanf("%lf",&p[i]);
52                 d[i]=get();
53             }
54             
55             f[0][r]=1.0;
56             for(int i=1;i<=n;i++)
57             for(int j=1;j<=r;j++)
58             {
59                 f[i][j]+= f[i-1][j] * Quick(1-p[i-1],j);
60                 f[i][j]+= f[i-1][j+1] * (1 - Quick(1-p[i-1],j+1));
61                 Ans+=f[i][j]*(1 - Quick(1-p[i],j))*d[i];
62             }
63             
64             printf("%lf\n",Ans);
65         }
66 }
View Code

 

posted @ 2017-02-22 16:25  BearChild  阅读(215)  评论(0编辑  收藏  举报