【BZOJ2460】【BJOI2011】元素 [线性基]

元素

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Description

　　相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。
　　那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。
　　一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制出法杖，这个现象被称为“魔法抵消”。
　　特别地，如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。
　　后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。
　　经过了大量的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来为零。
　　并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。

Input

　　第一行包含一个正整数N，表示矿石的种类数。 
　　接下来 N行，每行两个正整数Numberi 和 Magici，表示这种矿石的元素序号和魔力值。

Output

　　仅有一行，一个整数：最大的魔力值

Sample Input

　　3
　　1 10
　　2 20
　　3 30

Sample Output

　　50

　　explain:
　　由于有“魔法抵消”这一事实，每一种矿石最多使用一块。 
　　如果使用全部三种矿石，由于三者的元素序号异或起来：1 xor 2 xor 3 = 0 ，
　　则会发生魔法抵消，得不到法杖。 
　　可以发现，最佳方案是选择后两种矿石，法力为 20+30=50。 

HINT

　　对于全部的数据：N ≤ 1000，Numberi ≤ 10^18，Magici ≤ 10^4。

Main idea

　　给出若干元素带两个属性a,b，求出添加若干个元素使得b最大（可加入的条件是加入的任意元素（不限制个数）XOR起来不为0）。

Solution

　　考虑贪心，从最大到最小加入肯定最优，发现线性基的性质内含“无法表示出0”，所以可以使用线性基处理。（线性基是可以用内部元素XOR出来答案和原来的相当的结构）。

　　加入方式：判断i的这一位是否为1，如果为1，判断线性基中这一位是否已经有匹配元，如果没有则将i当做这一位的匹配元，停止判断，Ans+=b[i]。

Code

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
using namespace std;  
     
const int ONE=1005;
 
int n;
int len=64;
long long Link[65];
int Ans;
 
struct power
{
        long long a;
        int b;
}a[ONE];
 
bool cmp(const power &a,const power &b)
{
        return a.b>b.b;
}
 
int get() 
{ 
        int res,Q=1;    char c;
        while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
        if(Q) res=c-48; 
        while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
        res=res*10+c-48; 
        return res*Q; 
}
 
int main()
{      
        n=get();
         
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i].a);
            a[i].b=get();
        }
         
        sort(a+1,a+n+1,cmp);
         
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int pos=len;pos>=1;pos--)
            {
                if( ((a[i].a>>(pos-1))&1) )
                {
                    if(!Link[pos])
                    {
                        Link[pos]=a[i].a;
                        Ans+=a[i].b;
                        break;
                    }
                    else a[i].a^=Link[pos];
                }
            }
        }
         
        printf("%d",Ans);
}