【BZOJ2460】【BJOI2011】元素 [线性基]
元素
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Description
相传,在远古时期,位于西方大陆的 Magic Land 上,人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。
那时人们就认识到,一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地,矿石越多则法力越强,但物极必反:有时,人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石,却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了,从而无法炼制出法杖,这个现象被称为“魔法抵消”。
特别地,如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石,那么一定会发生“魔法抵消”。
后来,随着人们认知水平的提高,这个现象得到了很好的解释。
经过了大量的实验后,著名法师 Dmitri 发现:如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号(编号为正整数,称为该矿石的元素序号),那么,一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集,那些矿石的元素序号按位异或起来为零。
并且人们有了测定魔力的有效途径,已经知道了:合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值,并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
现在,给定你以上的矿石信息,请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。
Input
第一行包含一个正整数N,表示矿石的种类数。
接下来 N行,每行两个正整数Numberi 和 Magici,表示这种矿石的元素序号和魔力值。
Output
仅有一行,一个整数:最大的魔力值
Sample Input
1 10
2 20
3 30
Sample Output
由于有“魔法抵消”这一事实,每一种矿石最多使用一块。
如果使用全部三种矿石,由于三者的元素序号异或起来:1 xor 2 xor 3 = 0 ,
则会发生魔法抵消,得不到法杖。
可以发现,最佳方案是选择后两种矿石,法力为 20+30=50。
HINT
对于全部的数据:N ≤ 1000,Numberi ≤ 10^18,Magici ≤ 10^4。
Main idea
给出若干元素带两个属性a,b,求出添加若干个元素使得b最大(可加入的条件是加入的任意元素(不限制个数)XOR起来不为0)。
Solution
考虑贪心,从最大到最小加入肯定最优,发现线性基的性质内含“无法表示出0”,所以可以使用线性基处理。(线性基是可以用内部元素XOR出来答案和原来的相当的结构)。
加入方式:判断i的这一位是否为1,如果为1,判断线性基中这一位是否已经有匹配元,如果没有则将i当做这一位的匹配元,停止判断,Ans+=b[i]。
Code
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1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 9 const int ONE=1005; 10 11 int n; 12 int len=64; 13 long long Link[65]; 14 int Ans; 15 16 struct power 17 { 18 long long a; 19 int b; 20 }a[ONE]; 21 22 bool cmp(const power &a,const power &b) 23 { 24 return a.b>b.b; 25 } 26 27 int get() 28 { 29 int res,Q=1; char c; 30 while( (c=getchar())<48 || c>57) 31 if(c=='-')Q=-1; 32 if(Q) res=c-48; 33 while((c=getchar())>=48 && c<=57) 34 res=res*10+c-48; 35 return res*Q; 36 } 37 38 int main() 39 { 40 n=get(); 41 42 for(int i=1;i<=n;i++) 43 { 44 scanf("%lld",&a[i].a); 45 a[i].b=get(); 46 } 47 48 sort(a+1,a+n+1,cmp); 49 50 for(int i=1;i<=n;i++) 51 { 52 for(int pos=len;pos>=1;pos--) 53 { 54 if( ((a[i].a>>(pos-1))&1) ) 55 { 56 if(!Link[pos]) 57 { 58 Link[pos]=a[i].a; 59 Ans+=a[i].b; 60 break; 61 } 62 else a[i].a^=Link[pos]; 63 } 64 } 65 } 66 67 printf("%d",Ans); 68 }