数值系统

数值系统

知其然而知其所以然。

二进制整数表示方式

原、反、补码及其缺点和补码好处

原码
二进制的第一位表示符号位，剩下的位表示绝对值，例如:

2  ---> 0010
-2 ---> 1010

问题：做加法的时候需要额外判断两个数的正负，且存在+0和-0。

原码做计算要考虑额外考虑符号正负。

反码
反码解决了额外判断正负号的问题。在原码的基础上，对负数的非符号位取反(注意：正数三种码都和原码一样)

可以直接进行加法运算，如果算子中有负结果要加一，依然有点麻烦，例如

-2 ---> 1010  //原码
-2 ---> 1101  //反码

-2 + 5 = 3
 1101
+0101
+0001 //额外加一
=0011 ---> 3

-1 + -1 = -2
1110
1110
0001
1101 --->-2

问题：仍然存在+0和-0，且需要判断算子有没有负数

补码
反码基础上加一就是补码，补码码运算的时候不必加上最后的1，不用判断正负数。
补码还有好处是：没有+0 -0。
至于他为什么可以直接相加得到最后的答案，用数学知识可以证明，此处略。

-2 + 5 = 3
1110
0101
0011 ---> 3

补码特性：

//2
0010
//-2 是 2取反加一 
1110 (1101 + 1 = 1110)
// 2 是 -2 取反加一
0010 (0001 + 1 = 0010)

范围和溢出

讨论范围要分有符号和无符号

无符号
这个比较简单 $[0,2^k-1]$ ，如果发生溢出，会从头开始

//unsigned 4_bits
0000-1111
1111 + 0001 = 0000

有符号
正数，符号位占一位，所以范围只有： $[0,2^{k-1}-1]$
负数，计算方式为 $-2^k+\mathrm{剩}\mathrm{下}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{当}\mathrm{正}\mathrm{数}\mathrm{计}\mathrm{算}$ 所以范围是 $[-1,-2^k]$

//负数举例
1111 = -2^4 + 7 = -9
1000 = -2^4 + 0 = -16

有符号的溢出，会变成异号，很好理解，最高位发生改变。

0111 + 1 = 1000 ---> 7 + 1 = -16
1000 - 1 = 1000 + 1111 = 0111 ---> 7

他们的范围可以看作一个圆，从0到正最大，再迈出一步到负最小，再继续增加到-1，0.
相当于把数轴两端粘到一起。

注意
C++中无符号和有符号运算的时候会发生一些自动转换，容易出错。例如

vector<int> nums;
//size()返回的size_t是无符号的，所以若size() == 0，会变得很大
for (int i = 0; i < nums.size() - 1)

浮点数

格式

第一位表示正负(sign, 0+, 1-)，一些位数表示小数值(frac位)，一些位数(exp)用于表示指数大小，bias是用于偏移指数的值

$$x=(-1{)}^{sign}\ast (1+frac)\ast 2^{(exp-bias)}$$

注意上述公式中f是小数部分的二进制位
exp - bias是指数的真实大小，bias的作用是将指数范围都转到正数，使得exp部分永远是正数，就不用补码表示了，举例:

假设我们有一个单精度浮点数：
0 10000010 11010000000000000000000
其中：
符号位：0，表示正数
指数位：10000010，偏移量为 127，所以真实指数值为 10000010 - 127 = -25
尾数位：11010000000000000000000

为什么exp 是8bits时bias是127?

假设exp有k位，IEEE规定，k位全0和全1要用于额外表示其他数据(后面讲)，所以我们exp的范围就是[1,$2^k-2$]这意味着我们一共可指数一共有$2^k-2$个一半正数一半负数，那就是$2^{k-1}-1$，带入8就是127，并且用不了的两个数是0和255

三种浮点数类型

Normal

规格化数，exp非全0非全1，整数部分只有一个1，小数部分由frac表示，参考科学计数法。例如

// 2.5f的二进制位
0 10000000 01000000000000000000000
// 可以算出exp是1, frac是1.01

DeNormal

非规格化数，exp全0，若frac也全0，则是0，若frac非0，则被认为是非常接近0的数。

exp为0，frac非0的区域，浮点数是均匀分布的。因为指数恒定，frac的增减自然对浮点数大小的影响是线性的。

Special

特殊的数，exp全1，frac全0，被认为是INF，无穷。若frac非0，则被认为是NaN(Not a Number)

浮点数分布

DeNormal区域均匀分布，再往外就是越来越稀疏，如图

浮点数舍入

默认四舍六入，五则向偶数舍入，例如1.5 -> 2 <- 2.5，原因：一部分向上一部分向下，减少舍入误差。

为什么说浮点数的精度和范围不可兼得

可以从计算公式看出来：总位数固定，小数位越多，指数越少，那么范围就越小，反之亦然。

浮点数运算

加法

规定：exp较小的向exp较大的对齐，并且相应地对frac移位，类似10进制科学计数法。

frac直接相加，最终exp取大的那个

最终符号如何确定：不知道

如何判断溢出：不知道

如何做减法：不知道

以上问题主要不知道的原因是浮点数的符号位是额外写出来的，并不像整数那样使用补码，也许底层进行运算的时候确实是会转成补码来算吧，但我没查到相关资料。

乘法

exp相加再减去bias，frac直接相乘，符号做异或运算。

如何判断溢出：我只知道如果exp变成全1或者全0可能溢出了，但如果exp的结果不是全0全一，但你确实知道他发生了溢出，那机器如何判断这种情况溢出呢？我不知道。

运算规则引发的常见问题和一些尚未解决的疑惑

主要是由exp对齐等引发的。

比如一个很大的数加很小的数，很小的数会被“忽略”。因为对阶的时候，frac右移太多的话，frac的有效位都被移没了，成了0.

而且实际计算乘法的时候，规则也许并不是我上面说的那样，举例

// 1e20
0 11000001 01011010111100011101100
// 1e20 * 1e20
0 11111111 00000000000000000000000

很明显exp不是直接相加再减去bias，frac也不是直接相乘

浮点数如何判断运算溢出

不知道。不要跟我说超出范围就算溢出，机器如何判断超出范围?

浮点和整形类型转换的底层原理

注意，这里不是说高级语言的强制类型转换截断之类的问题，是bit层面的。

整形和浮点对同一串bits的解读方式不一样，比如

// int 123
0 00000000 00000000000000001111011
// 对于浮点数来说，他表示: 1.723597e-43

转换规则

int转float

符号位直接看最高位

找到从最高位往下第一个1，之后的位数就是exp - bias的值，之后的bits就是frac

float转int

符号位同上

frac << (exp - bias) 之后的位舍去。

存在的问题

注意，有可能会溢出。还有精度损失。

如何存储

大小端

指的是二进制如何存储。假设一个存储单位是8bits

0x78_9a_bc
//假设左边低地址，右边高
//大端，高位存在地址低端
78 9a bc
//小端，低位存低端
bc 9a 78