CF950Div3 G. Yasya and the Mysterious Tree（01Trie）

Problem

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Solution

设 \(s[u]\) 是根到 \(u\) 路径上的异或和，树上任意两点 \(u,v\) 的路径异或和可表示为 \(s[u] \oplus s[v]\)。

考虑查询操作 ? v x 即求 \(\max\{ s[v] \oplus s[u] \oplus x |\ \ 1 \le u \le n, u \not = v\}\) ，若把 \(s[v] \oplus x\) 看作一个整体，这恰好是 01Trie 可以解决的问题。

考虑修改操作 ^ y 对查询的影响：由于是全局 \(\oplus y\)，当路径长度为偶数时对结果没有影响，路径长度为奇数时则会有影响。于是我们可以开两个 01Tire，将树黑白染色，同一颜色的 \(s[u]\) 存入相同的 01Trie。同色点间的路径长度一定为偶数，反之不同颜色点间的路径长度一定为奇数。

注意到查询时，01Tire对应的集合里面不应该有自己，所以要涉及到 01Trie的删除操作。

时间复杂度 \(O(n*30)\)

Code

Talk is cheap.Show me the code

#include<bits/stdc++.h>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x * f;
}
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 2e5+7;
const int MAXN = 6e6+7;
int n,m;
int val[N];
bool tp[N];
vector<pii> E[N];
struct Trie {
	int tot;
	int cnt[MAXN];
	int ch[MAXN][2];
	void Init() {
		for(int i=0;i<=tot;++i) {
			cnt[i] = ch[i][0] = ch[i][1] = 0;
		}
		tot = 0;
	}
	void insert(int x,int k) {
		int now = 0;
		for(int i=30;i>=0;--i) {
			int c = (x>>i)&1;
			if(!ch[now][c]) ch[now][c] = ++tot;
			now = ch[now][c];
			cnt[now] += k;
		}
	}
	int find_max(int x) {
		int now = 0, res = 0;
		for(int i=30;i>=0;--i) {
			int c = (x>>i)&1;
			if(ch[now][c^1] && cnt[ch[now][c^1]]) now = ch[now][c^1], res |= (1<<i);
			else {
				if(!(ch[now][c] && cnt[ch[now][c]])) return -1;
				now = ch[now][c];
			}
		}
		return res;
	}
}tree[2];
void Dfs(int u,int fa,int s) {
	tree[s].insert(val[u], 1);
	tp[u] = s;
	for(auto now : E[u]) {
		int v = now.first, w = now.second;
		if(v == fa) continue;
		val[v] = val[u] ^ w;
		Dfs(v, u, s^1);
	}
}
void solve() {
	n = read(), m = read();
	for(int i=1;i<n;++i) {
		int u = read(), v = read(), w = read();
		E[u].push_back(mp(v, w));
		E[v].push_back(mp(u, w));
	}
	Dfs(1, 0, 0);
	int y = 0;
	while(m--) {
		char op;
		cin >> op;
		if(op == '^') {
			int x = read(); y ^= x;
		} else {
			int v = read(), x = read();
			tree[tp[v]].insert(val[v], -1);
			int mx1 = tree[tp[v]].find_max(val[v]^x);
			int mx2 = tree[tp[v]^1].find_max(val[v]^x^y);
			printf("%d\n",max(mx1, mx2));
			tree[tp[v]].insert(val[v], 1);
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		E[i].clear();
		val[i] = tp[i] = 0;
	}
	tree[0].Init();
	tree[1].Init();
}
int main()
{
	int T = read();
	while(T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}

Summary

01 Trie 可以解决的问题：

• 某一个数与集合中的一个数的异或最大值。