[算进] BZOJ3105 新NIM游戏（线性基）

Problem

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Solution

首先我们要知道：第一个人只要挑选出一些元素 \(a_i\) 后，使得剩下这个集合 \(A\) 的异或空间的张成不包含 \(0\)，则先手必赢。（异或和不为 \(0\)，NIM游戏先手必赢）

换言之，先手只要选对了，后手怎么选，先手都可以赢。那么先手怎么选才是对的呢？

选出一个极大的线性无关子集（异或空间下）。（这不恰恰是线性基能做的事吗？）

在满足上面这个条件下，要求选出来的元素和最小。因此我们直接贪心地将 \(A\) 集合从大到小排序，插入线性基。无法插入的元素即是我们要拎出来的元素，加入答案。留下来的集合就是原集合的极大的线性无关子集（异或空间下）。

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
	return x * f;
}
const int N = 107;
int n,ans;
int a[N];
struct LB {
	int d[N];
	int insert(int x) {
		int tmp = x;
		for(int i=31;i>=0;--i) {
			if((1<<i) & x) {
				if(d[i]) {
					x ^= d[i];
				} else {
					d[i] = x; return 0;
				}
			}
		}
		return tmp;
	}
}B;
bool cmp(int a,int b) {
	return a > b;
}
signed main()
{
	n = read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i] = read();
	sort(a+1, a+1+n, cmp);
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		int val = B.insert(a[i]);
		ans += val;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}