博弈论基础入门

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• 阶梯NIM游戏问题

公平组合游戏 ICG

一个游戏满足以下条件时被叫做公平组合IGC游戏

• 两名玩家交替行动。
• 游戏进程的任意时刻，可以执行的操作和操作者本人无关。
• 不能行动的玩家判负，不存在平局。

本蒟蒻的理解：公平组合游戏都可以转化为博弈论问题来解决。例如经典的 “NIM游戏”，“有向图游戏” 都是公平组合游戏。类型的问题也可以转化成前两种模型解决。

NIM游戏

洛谷 题目地址

定理：

• NIM游戏先手必赢，当且仅当 \(A_1 \ \mathrm{xor}\ A_2 \ \mathrm{xor}\ ... \ \mathrm{xor}\ A_n ≠ 0\)。

证明：
最后所有石子都取完是必败态，此时 \(\mathrm{xor}\) 和为 \(0\)。
由此可以推得必败态的上一个状态 \(\mathrm{xor}\) 和不为 \(0\)。
对于一个任意 \(\mathrm{xor}\) 不为 \(0\) 的状态，令 \(x=\sum{\mathrm{xor}} A_i\)，假设 \(x\) 的最高位为 \(k\)，那么一定存在 \(A_j\) 的第 \(k\) 也为 \(1\)，在 \(A_i\) 中取走 \(A_i-A_i \mathrm{xor}\ x\) 颗石子（即剩下 \(A_i \mathrm{xor}\ x\) 颗石子），则操作后的状态异或和为 \(0\)。
对于任意一个 \(\mathrm{xor}\) 和为 \(0\) 的状态，无论怎么选取，下一个的状态的异或和必定不为 \(0\)。
重复以上操作，根据数学归纳法，初始状态 \(\mathrm{xor}\) 和不为 \(0\)，先手必胜。
证毕。

有向图游戏

给定一张有向无环图，初始在起点 \(s\) 处放一枚棋子。每一回合玩家可以向出边移动一步，不能移动者失败。问是否有先手必赢策略？

想要解决这个问题，我们首先要引入 \(\mathrm{mex}\) 运算和 \(SG\) 函数。

\(\mathrm{mex}\) 运算

\(\mathrm{mex}\) 运算是求一个集合里面没有的最小非负整数，用数学语言表达即（\(N\) 是自然数集）：

\[\mathrm{mex}(S) = \min\{x,x \notin S,x \in N\} \]

\(SG\) 函数

（特指有向图游戏）在有向图游戏中，对于每个结点 \(x\)，其 \(SG\) 函数为：

\[SG(x) = \mathrm{mex} \{ SG(y_1),SG(y_2),...,SG(y_k) \} \]

（\(y_i,1 \le i \le k\) 是 \(x\) 的 \(k\) 条出边的第 \(i\) 条出边所指向的点）

可以发现，\(SG\) 函数是递归定义的。\(SG\) 函数的终点即为不可移动的点，因为没有出边，所以不可移动的点的 \(SG\) 函数等于 \(0\)。

特别的，一个有向图游戏 \(G\) 的 \(SG\) 函数是该有向图的起点 \(s\) 的 \(SG\) 函数，即 \(SG(G) = SG(s)\)。

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回到有向图游戏，对于这个游戏，有一个定理。

定理：

• 有向图游戏先手必赢，当且仅当 \(SG(G) \neq 0\)。

对于该定理的证明，可以结合 \(SG\) 函数意义和数学归纳法进行证明。过程比较简单，留给读者自行证明。

多个有向图游戏

（并不知道有什么专业名称） 类似于NIM游戏与有向图游戏的相结合。

定义多个有向图游戏 \(G_1,G_2,...,G_n\)，每一回合玩家可以在任意一个有向图游戏 \((G_i,1 \le i \le n)\) 上移动一步，不可移动者失败。问先手是否有必赢策略？

定理

• 多个有向图游戏先手必赢，当且仅当 \(SG(G_1) \ \mathrm{xor} \ SG(G_2) \ \mathrm{xor} \ ... \ \mathrm{xor} \ SG(G_n) \neq 0\)。

关于该定理的证明，读者可以在自主完成上一定理的证明后，结合NIM游戏定理的证明，感性理解一下。（因为我也不会呀qwq）

题目

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POJ2311 剪纸游戏

变形

每次取 \([1,x]\) 的 NIM 游戏

题目大意： \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 个，给定 \(x\)，每次可以取 \([1,x]\) 个石子，问先手是否必胜。

结论： 若 \(\bigoplus\limits_{i=1}^n (a_i \% (x+1)) \not = 0\) 则先手必胜，否则先手必败。

感性理解一下：对于某一堆石子 \(a_i\)，当 \(a_i>(x+1)\)，后手取掉一个数 \(y \in [1,x+1)\)，先手可以取一个数 \(z\)，满足 \(z=x+1-y\)，\(z\) 一定是可以取到的（也就是说\(z\in [1,x+1)\)），则 \(a_i\) 变为了 \(a_i - (x+1)\)，以此类推，该堆石子变为 \(a_i\%(x+1)\) 时，这堆石子就可以取任意数了。推广到每一堆石子，就转化成了 NIM 游戏。