[算进] 最幸运的数字
Problem
ACwing 题目地址 （听说这里的数据已经加强到POJ这个水平了，毒瘤数据恶心死了）
Solution
这里学会两个 引理/性质：
\(1.\) 由 \(x\) 个 \(y\) 组成的数的公式是 \(y*\frac{10^x-1}{9}\)。比如 \(88888888\) 这种数。
\(2.\) 若正整数 \(a,n\) 互质，则满足 \(a^x \equiv 1 \pmod n\) 的最小正整数 \(x_0\) 是 \(φ(n)\) 的约数。
证明一下第二条性质：
证明方法：反证法，调整法。
证明：
假设性质二不成立，也就是 \(x_0\) 可能不是 \(φ(n)\) 的约数。
首先 \(x_0 < φ(n)\)。如果 \(x_0 > φ(n)\)，那么 \(φ(n)\) 才是最小符号条件的 \(x_0\)。
假设 \(φ(n)=k*x_0+r\)，根据欧拉定理，\(a^{φ(n)} \equiv 1 \pmod n\)。
又有 \(a^{x_0} \equiv 1 \pmod n\)，所以 \(a^{k*x_0} \equiv 1 \pmod n\)。
又因为 \(a^{φ(n)}=a^{k*x}*a^r\)，所以 \(a^r \equiv 1 \pmod n\)
根据余数的定义 \(1<=r<x_0\)，故 \(x_0\) 不是最小的符合条件的正整数。
如此往复迭代调整，直到 \(r=0\)，才无法继续调整，此时 \(x_0\) 是 \(φ(n)\) 的约数。
证毕。
有了这两个性质，我们就可以开始推导题目了。
题目实际上要我们求一个最小的正整数 \(x\)，满足 \(L \ | \ 8*\frac{10^x-1}{9}\)
我们来转化一下这个限制条件：
令 \(d=gcd(L,8)\)，那么（\(①\) 下面有注释）：
注释 \(①\) ：（一开始我看不懂这一步，解释一下qwq）首先 \(\frac{9*L}{d}\) 与 \(\frac{8}{d}\) 是互质的，所以 \(\frac{9*L}{d}\) 一定是 \(10^x-1\) 的因数，所以 \(\Leftrightarrow \frac{9*L}{d} \ | \ 10^x-1\)
根据上面的 性质\(2\)，我们可以试除法找约数判断答案是否可行解决这个题目。时间复杂度（假设 \(N\) 组数据 \(O(N*\sqrt{L} \log^2 L)\)）。（为什么时间复杂度带两个 \(\log\)？我才不会告诉你这个题目毒瘤数据要写快速乘法，所以快速幂里面套一个快速乘）
我的求欧拉函数和大家的有点区别。。
Code
Talk is cheap.Show me the code.
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
int x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
return x * f;
}
int L,mod,ans,pm;
int gcd(int a,int b) {
return (b==0?a:gcd(b,a%b));
}
int Phi(int n) {
if(n == 1) return 1;
int res = 1;
for(int i=2;i<=sqrt(n);++i) {
if(n % i == 0) {
res *= (i-1); n /= i;
while(n % i == 0) {
res *= i; n /= i;
}
}
}
if(n > 1) res *= (n-1);
return res;
}
int Mul(int x,int y) {
int res = 0, base = x;
while(y) {
if(y&1) res = (res+base)%mod; base = (base<<1)%mod; y >>= 1;
}
return res;
}
int Pow(int x,int y) {
int res = 1, base = x;
while(y) {
if(y&1) res = Mul(res,base); base = Mul(base,base); y >>= 1;
}
return res;
}
void work(int T) {
mod = 9*(L/gcd(L,8)), pm = Phi(mod);
//printf("%d %d\n",mod,pm);
bool flag = 0;
for(int i=1;i<=sqrt(pm);++i)
if(pm % i == 0 && Pow(10,i) == 1) {
flag = 1; ans = i; break;
}
if(flag) {
printf("Case %lld: %lld\n",T,ans); return ;
}
for(int i=sqrt(pm);i>=1;--i)
if(pm % i == 0 && Pow(10,pm/i) == 1) {
flag = 1; ans = pm/i; break;
}
if(flag) {
printf("Case %lld: %lld\n",T,ans); return ;
} else {
printf("Case %lld: 0\n",T);
}
}
signed main()
{
//test();
for(int i=1;i;++i) {
L = read();
if(!L) break;
work(i);
}
return 0;
}
Summary
学到了两个性质，最重要的是性质二：
- 若正整数 \(a,n\) 互质，则满足 \(a^x \equiv 1 \pmod n\) 的最小正整数 \(x_0\) 是 \(φ(n)\) 的约数。
