[算进] 可见的点

没有代码的数学题题解（超级简单，超级易懂）

Sulotion

我们可以发现一个点之所以不能被看见是因为点 \((x,y)\) 的 \(gcd(x,y) > 1\)，比如下面这张图：

所以能看见的点 \((x,y)\) 一定有 \(gcd(x,y)=1\)

所以这个题目就是在求：

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=1] \]

当然结果还要 \(+2\)，因为有 \((1,0),(0,1)\) 这两个点。我们先考虑上式怎么求。

（Mobius反演大佬一看，“这不是sb题吗？”，我这个Mobius反演蒟蒻在一旁只能瑟瑟发抖）

不会莫反的同学不要紧，我们可以直接 欧拉函数 解决这个问题！！！

如果 \(gcd(i,j)=1\)，那么我们可以直接知道 \(gcd(j,i)=1\)，这个式子是对称的，那么我们可以令 \(i>j\)，只算一边，最后 \(*2\)。

但是这样会忽略 \((1,1)\) 这个点，我们得加上去。因此原式等于：

\[(2*\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)=1])+1 \]

我们再来考虑 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)=1]\) 这部分这么算。经过观察发现 \(\sum_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)=1]\) 这部分就是 \(φ(i)\)，因此等于：

\[\sum_{i=1}^n φ(i) \]

就是一个欧拉函数前缀和，用欧拉筛可以 \(O(n)\) 解决，然而大佬们会杜教筛可以在非线性时间内解决。

把整个式子写完整，答案就是：

\[(2*\sum_{i=1}^n φ(i))+1+2 \]

代码就不写了，没啥技术含量。。。

Summary

大佬们可以用莫反千千万万种方式切爆这题。