约数之和 (数论)
前言
失恋了跑过来写这题,想当年这题咕了好久,现在分分钟切了。
Solution
通过唯一分解定理:
所以:
通过自己研究研究可以知道的两个定理:
- 1.约数个数定理:
解释:从每一个质数里面任选一个次幂(选择范围 ),与其他质数相组合就是一个约数,所以约数个数就是上面这个式子。
- 2.约数和定理:
解释:每个括号里面就是每一个质数的任一个次幂(次幂范围 )之和,如果把括号拆开,就是每个括号里面选一个数乘起来,再把所有选择加起来。每个括号选一个数乘起来,不正对应每一个约数的值吗?所以约数和就是上面这个式子。
上面这个式子有 亿点点 难看,我们把它写简洁一点就是:
回到题目,在这个题目里的 约数和 就是如下式子:
暴力计算复杂度 ,还要带上个质因数分解的复杂度。本题数据 ,因此要想办法优化。
发现 不就是一个 等比数列求和 吗? 等比数列求和公式
注意在 模意义 下,除一个数要用乘它的逆元代替,模数 是一个素数,可以用 费马小定理 直接求得逆元。 (这题目要用的东西还挺多的)
所以最后分别求出 个等比数列求和,全部乘起来就是答案。每个等比数列 ( 是公比)。这样我们就可以求出整个题目的解了。
求一次乘法逆元的复杂度是 ,因为 较小,可以忽略记为常数;求一次快速幂的复杂度是 这个应该小于 。所以总复杂度应该是 (大雾 (有一个著名的定理 分解出来的质数不超过9个)
Code
Talk is cheap.Show me the code.
#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 9901
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
int x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
return x * f;
}
int A,B;
vector<pair<int,int> > p;
int Pow(int x,int y) { //9901是质数,直接上费马小
int res = 1, base = x;
while(y) {
if(y&1) res = (res*base)%MOD; base = (base*base)%MOD; y >>= 1;
}
return res;
}
signed main()
{
A = read(), B = read();
if(A == 0) {
puts("0"); return 0;
}
while(A > 1) {
for(int i=2;i<=A;++i) {
if(A%i == 0) {
int num = 0;
while(A%i == 0) A /= i, ++num;
p.push_back(make_pair(i,num));
break;
}
}
}
int ans = 1, inv, S;
for(int i=0;i<p.size();++i) {
inv = Pow(p[i].first-1+MOD%MOD,MOD-2);
S = (Pow(p[i].first, p[i].second*B+1)-1+MOD)%MOD;
S = (S*inv)%MOD;
ans = (ans*S)%MOD;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
Summary
水题一道,只是做来安慰安慰自己的心情,使得自己能坚定地在OI路上走下去。
自己选择的路,跪着也要走完。朋友们,虽然这个世界日益浮躁起来,只要能够为了当时纯粹的梦想和感动坚持努力下去,不管其它人怎么样,我们也能够保持自己的本色走下去。 ——陈立杰
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 浏览器原生「磁吸」效果!Anchor Positioning 锚点定位神器解析
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· 一个奇形怪状的面试题:Bean中的CHM要不要加volatile?
· [.NET]调用本地 Deepseek 模型
· 一个费力不讨好的项目,让我损失了近一半的绩效!
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· 百万级群聊的设计实践
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
· 永远不要相信用户的输入:从 SQL 注入攻防看输入验证的重要性
· 浏览器原生「磁吸」效果!Anchor Positioning 锚点定位神器解析