牛客挑战赛32
前言
2019.9.20
我真是不知好歹参加了这个比赛。在ygt大佬的帮助下勉强推出了C题的式子,由于矩阵加速忘记了,所以没打出代码来。总结一下:准爆零qwq。
很快就要提高组比赛了,这样的水平不知道能考出几分,emm... ...
C
\(\text{ygt}\)大佬是这样说的:
把ai展开 然后把ai中含fi的降下标 就能跟ai-1,ai-2找到关系
那就让我们找找看吧
已知:
\[a[n]=\sum_{k=0}^nF[n-k]*F[k]
\]
那我们将之展开就是:
\[a[i]=F[i]*F[0]+F[i-1]*F[1]+F[i-2]*F[2]+...
\]
\[+F[2]*F[i-2]+F[1]*F[i-1]+F[0]*F[i]
\]
\(\because F[0]=0,\therefore F[i]*F[0]=0 \therefore\)
\[a[i]=F[i-1]*F[1]+F[i-2]*F[2]+...+F[2]*F[i-2]+F[1]*F[i-1]
\]
也许你已经发现了 \(a[i]\) 这个式子有一些特点,不过别急,先往下面看
不妨把\(a[i-1],a[i-2]\)也展开看看,那么就是:
\[a[i-1]=F[i-2]*F[1]+F[i-3]*F[2]+...+F[2]*F[i-3]+F[1]*F[i-2]
\]
\[a[i-2]=F[i-3]*F[1]+F[i-3]*F[2]+...+F[2]+F[i-4]+F[1]*F[i-3]+F[0]*F[i-2]
\]
前面已经说过 \(F[0]=0\) ,那为什么这里又把 \(F[0]*F[i-2]\) 列出来呢?
下面就是重点啦!
我们知道 \(F[i-1]=F[i-2]+F[i-3]\),那么来观察一下\(a[i]\),\(a[i-1]\) 和 \(a[i-2]\) 的展开式
我们发现
\(F[i-2]*F[1]+F[i-3]*F[1]=(F[i-1]+F[i-2])*F[1]=F[i-1]*F[1]\)
进而,我们可以发现\(a[i]\) 与 \(a[i-1],a[i-2]\) 的每一项均可以一一对应。
现在再理解一下
\(F[0]*F[i-2]+F[1]*F[i-2]=(F[0]+F[1])*F[i-2]=F[2]*F[i-1]\)
这样就很明白了
不过最后我们还发现一一对应后还有一个 \(F[1]*F[i-1]\) 是没有对应的,于是就推导出了这个式子:
\[a[i]=a[i-1]+a[i-2]+F[1]*F[i-1]
\]
讲完完后感觉自己的智商是普及组三等奖水平
代码下午补