[牛客]进出栈序列问题

题目地址

蓝书上有两个巧妙的算法

递推。考虑把一个大问题转化为小问题。现在我们要解决一个长为 \(N\) 的序列最后有多少种方案，记作 \(S_N\) ，现在假设序列中位置 \(K\) 的地方有一个数 \(a\) ，\(a\)前面有\(K-1\)个数要出栈，\(a\)后面有\(N-K\)个数要出栈，而出栈的方案总数分别是 \(S_{K-1}\) 和 \(S_{N-K}\) 于是这个大问题就转化成了小问题，我们就要求更小的 \(S_i\)，于是有递推公式（很好理解）：

\[S_N=\sum_{K=1}^NS_{K-1}*S_{N-K} \]

动态规划。这里我们要有状态与决策的思想（这个真的很重要，有时与搜索也异曲同工）。我们设 \(F[i,j]\) 是还有 \(i\) 个元素未入栈，\(j\) 个元素在栈中的方案总数，初始状态是 \(F[0,0]=1\)，目标状态是\(F[N,0]\)，每一次我们的决策有“让一个数进栈”，“让栈顶的数出栈”，所以方程有：

\[F[i,j]=F[i-1,j+1]+F[i,j-1] \]