电磁感应定律
一般来说，电动势\(\varepsilon\)在环绕表面的线环\(\sigma\)中，导线中的电场为\(E\)，有下式存在
\[\varepsilon = \oint_{\sigma}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}
\]
我们可以写出麦克斯韦-法拉第方程的积分形式
\[\oint_{\sigma}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l} =-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\sum}\boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{A}
\]
按照磁通量变化的原因的不同，可以细分为动生电动势和感生电动势。
动生电动势
在磁场内安放一个任意形状的导线线圈\(L\)，线圈可以是闭合的，也可以是不闭合的。当这线圈在运动或者发生形变时，任意一小段\({\rm d}\boldsymbol{l}\)都有可能有一速度\(\boldsymbol{v}\)。整个线圈中产生的动生电动势为
\[\varepsilon=\oint_L (\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{B})\boldsymbol{\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}
\]
感生电动势 涡旋电场
考虑一个固定的回路\(L\)，\(S\)为以\(L\)为边界的曲面。当通过它的外磁场发生变化时，在其中产生感生电动势\(\varepsilon\)。利用法拉第电磁感应定律得到
\[\varepsilon=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}=-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\iint_S \boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\oint_L \boldsymbol{A\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=-\oint_L \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\boldsymbol\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}
\]
上式利用了斯托克斯定理和\(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A}\)。由于回路\(L\)是固定的，因此磁通量的变化完全是由磁感应强度\(\boldsymbol{B}\)的变化，或者说磁矢势的变化引起的。产生感生电动势的非静电力\(\boldsymbol{K}\)等于
\[\boldsymbol{K}=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
上述非静电力就是涡旋电场，它是由变化的磁场所激发，描述涡旋电场的电场线是闭合的，属于有旋场。用数学式子来表示，有
\[\varepsilon=\oint_L \boldsymbol{E}_旋\boldsymbol{\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}\\
\boldsymbol{E}_旋=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
在一般的情形下，空间的总电场是静电场（势场）和涡旋电场的叠加
\[\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_势+\boldsymbol{E}_旋=-\boldsymbol{\nabla}U-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
磁矢势与磁场中带电粒子的动量
磁场中带电粒子的动量守恒定律
考虑一个带电粒子在电场\(\boldsymbol{E}\)和磁场\(\boldsymbol{B}\)中的运动。电场\(\boldsymbol{E}\)与磁矢势\(\boldsymbol{A}\)的关系为
\[\boldsymbol{E}_旋=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
磁场\(\boldsymbol{B}\)与磁矢势\(\boldsymbol{A}\)的关系为
\[\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A}
\]
磁矢势\(\boldsymbol{A}\)是粒子的空间位置\(\boldsymbol{r}\)和时间\(t\)的函数，\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)\)。\(\boldsymbol{A}\)的变化主要有两部分组成，第一部分为\(\boldsymbol{A}\)随时间的变化
\[\Delta^{(1)}\boldsymbol{A}=\frac{\partial\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\Delta t
\]
第二部分为\(\boldsymbol{A}\)随粒子1位置的移动的变化
\[\Delta^{(2)}\boldsymbol{A}=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial x}v_x\Delta t+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial y}v_y\Delta t+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial z}v_z\Delta t \\
=(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}\Delta t
\]
在时间间隔\(\Delta t\)内\(\boldsymbol{A}\)的全部变化为
\[\Delta \boldsymbol{A}=\Delta^{(1)}\boldsymbol{A}+\Delta^{(2)}\boldsymbol{A}
\]
它对时间的全微商为
\[\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta\boldsymbol{A}}{\Delta t}=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}
\]
带电粒子在电磁场中运动时，它所受到的力包括
\[\begin{split}
\boldsymbol{F} &= q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{B})\\
&=-q(\boldsymbol{\nabla}U+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times{A}}))
\end{split}
\]
注意\(\boldsymbol{v}\)不是分布在空间中的场，对空间的微分为0。
\[\begin{split}
\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot}\boldsymbol{A})
&=\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A})+\boldsymbol{A\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v} \\
&=\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A})+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}
\end{split}
\]
得到
\[\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot}\boldsymbol{A})-(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}
\]
代回得到
\[\boldsymbol{F}=-q[\boldsymbol{\nabla}U+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot}\boldsymbol{A})]
\]
括号中的第二项和第三项刚好就是\(\boldsymbol{A}\)对时间的全微商。
\[\boldsymbol{F}=-q[\boldsymbol{\nabla}U+\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}-\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot A})]=-q\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}-q\boldsymbol{\nabla}(U-\boldsymbol{v\cdot A})
\]
粒子动量的时间变化率应当等于上式
\[\frac{{\rm d}(m\boldsymbol{v})}{{\rm d}t}=-q\boldsymbol{\nabla}(U-\boldsymbol{v\cdot A})
\]
移项后，得
\[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A})=-q\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}-q\boldsymbol{\nabla}(U-\boldsymbol{v\cdot A})
\]
\(m\boldsymbol{v}\)是粒子的动力动量，\(q\boldsymbol{A}\)是磁势动量，二者之和
\[\boldsymbol{p}\equiv m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A}
\]
在分析力学中称为正则动量(canonical momentum)或共轭动量(conjugate momentum)。\(U-\boldsymbol{v\cdot A}\)可以看作粒子在电磁场中的一种广义势，在广义势的梯度等于0的情况下，粒子的正则动量守恒
\[\boldsymbol{p}\equiv m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A}=C
\]
这就是带电粒子在电、磁场中运动时的动量守恒定律。
电磁场的相对论变换
不同的参考系中观察到的电磁规律有什么关系？在不同的参考系中观察到的电场和磁场之间有什么关系？在电磁学里，无论速度多么低，伽利略变换都不适用，这些问题的解决要靠相对论。
相对论力学的若干结论
1.洛伦兹变换
设\(K\)与\(K'\)是两个坐标原点重合的惯性系，取直角坐标系\(Oxyz\)和\(O'x'y'z'\)，相应坐标轴平行。开始计时后，\(K'\)系相对于\(K\)系以速度\(v\)沿\(x\)方向作匀速运动。洛伦兹变换的直观形式为
\[\begin{cases}
x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\
y'=y \\
z'=z \\
t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
\end{cases}
\]
设时空间隔\(S^2=x^2+y^2+z^2=c^2t^2\)，变换后的\(S'^2\)为
\[S'^2=x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=S^2
\]
洛伦兹变换前后，\(S^2\)的值没有发生改变。不妨设\(\beta=v/c\)，\(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\)，并把时间写成虚变量\(w=ict\)，\((x,y,z,w)\)称之为闵可夫斯基空间中的四维矢量，洛伦兹变换变为
\[\begin{cases}
x'=\gamma(x+i\beta\omega),\\
y'=y,\\
z'=z,\\
w'=\gamma(w-i\beta x).
\end{cases}
\]
洛伦兹变换是复闵可夫斯基空间中的正交变换，举下例来说明：设想将\(xOw\)坐标系绕坐标原点逆时针旋转\(\theta\)，则有
\[\begin{cases}
x'=x\cos\theta+w\sin\theta\\
w'=-x\sin\theta+w\cos\theta
\end{cases}
\]
与洛伦兹变换对照，得到
\[\begin{cases}
\gamma=\cos\theta\\
i\beta\gamma=\sin\theta
\end{cases}
\]
即，洛伦兹变换刻画了闵可夫斯基空间的一种转动，转动前后空间距离\(S\)不变，属于正交变换。要定义一个闵可夫斯基空间里的四维矢量，它必须与\((x,y,z,w)\)一样服从洛伦兹变换。
2.四维速度
取固有时\({\rm d}\tau={\rm d}t/\gamma\)，即相对于粒子静止的时钟显示的时间间隔，四维速度\((u_x,u_y,u_z,u_t)\)定义为
\[\begin{cases}
u_x=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}\tau}=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=v_x\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=\gamma v_x,\\
u_y=\gamma v_y,\\
u_z=\gamma v_z,\\
u_t=\frac{{\rm d}w}{{\rm d}\tau}=\frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=ic\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=ic\gamma.
\end{cases}
\]
四维速度是四维矢量，服从洛伦兹变换。
3.四维动量
四维动量是由三维动量\(\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z)\)和能量\(E\)组成的四维矢量，\(p_t=iE/c\)
\[\begin{cases}
p_x'=\gamma(p_x+i\beta p_t),\\
p_y'=p_y,\\
p_z'=p_z,\\
p_t'=\gamma(p_t-i\beta p_x)
\end{cases}
\]
电磁场的变换公式
按照狭义相对论，不同惯性系之间的时空坐标变换是洛伦兹变换，相对性原理要求从一个惯性系变换到另一个惯性系时基本物理规律的形式保持不变，这称为基本物理规律的洛伦兹协变性。此处的电磁学基本规律指的是麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式
\[\boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{B})
\]
另外，实验表明，电量不随参考系的变换而发生改变。下面从洛伦兹力公式的协变性和电荷的不变性出发，导出不同惯性系之间的电磁场变换公式。
如前所述，四维动量是四维矢量，服从洛伦兹变换。但是四维动量对时间的导数
\[\begin{cases}
\frac{{\rm d}p_x}{{\rm d}t}=f_x,\\
\frac{{\rm d}p_y}{{\rm d}t}=f_y,\\
\frac{{\rm d}p_z}{{\rm d}t}=f_z,\\
\frac{{\rm d}p_t}{{\rm d}t}=\frac{i}{c}\frac{{\rm d}E}{{\rm d}t}=\frac{i}{c}P.
\end{cases}
\]
即由力的三个分量\((f_x,f_y,f_z)\)和功率\(P\)的组合并不构成四维矢量。不过，取固有时\({\rm d}\tau={\rm d}t/\gamma\)，即相对于粒子静止的时钟显示的时间间隔，如果将\({\rm d}t\)换成固有时，或者说，将上述四个量乘以\(\gamma\)
\[\begin{equation*}
\begin{cases}
F_x=\gamma f_x,\\
F_y=\gamma f_y,\\
F_z=\gamma f_z,\\
F_t=\frac{i}{c}\gamma P
\end{cases}
\end{equation*}
\]
就变成四维矢量了，它服从洛伦兹变换
\[\begin{cases}
F_x'=\gamma (F_x+i\beta F_t),\\
F_y'=F_y,\\
F_z'=F_z,\\
F_t'=\gamma(F_t-i\beta F_x).
\end{cases}
\]
洛伦兹力的分量和功率的公式为
\[\begin{cases}
f_x=q(E_x+v_yB_z-v_zB_y),\\
f_y=q(E_y+v_zB_x-v_xB_z),\\
f_z=q(E_z+v_xB_y-v_yB_x),\\
\frac{i}{c}P=\frac{iq}{c}(v_xE_x+v_yE_y+v_zE_z).
\end{cases}
\]
乘以\({\rm d}t/{\rm d}\tau\)，注意到\(v_x{\rm d}t/{\rm d}\tau={\rm d}x/{\rm d}\tau=u_x,u_t=ic\gamma\)
\[\begin{cases}
F_x=q(\frac{-i}{c}u_tE_x+u_yB_z-u_zB_y),\\
F_y=q(\frac{-i}{c}u_tE_y+u_zB_x-u_xB_z),\\
F_z=q(\frac{-i}{c}u_tE_z+u_xB_y-u_yB_x),\\
F_t=\frac{iq}{c}(u_xB_x+u_yE_y+u_zE_z).
\end{cases}
\]
洛伦兹力的协变性要求，从\(K\)系变换到\(K'\)系，上式的数学形式不变。
相对论力学要求，上式中的\((F_x,F_y,F_z,F_t)\)和\((u_x,u_y,u_z,u_t)\)的变换服从前边推导过的洛伦兹变换公式。
利用\(K\)到\(K'\)的洛伦兹变换，将\(F_x'\)展开得
\[\begin{split}
F_x' &=\gamma(F_x+i\beta F_t) \\
&=\gamma[q(\frac{-i}{c}u_tE_x+u_yB_z-u_zB_y)+i\beta\frac{iq}{c}(u_xB_x+u_yB_y+u_zB_z)]
\end{split}
\]
把上式中的\(u_x,u_y.u_z.u_t\)利用洛伦兹变换替换成\(u_x',u_y',u_z',u_t'\)得
\[\begin{split}
F_x'&=\gamma\{q[\frac{-i\gamma}{c}(u_t'+i\beta u_x')E_x+u_y'B_z-u_z'B_y]
+i\beta\frac{iq}{c}[\gamma(u_x'-i\beta u_t')E_x+u_y'E_y+u_z'E_z] \}\\
&=\frac{-iq\gamma^2}{c}(1-\beta^2)E_xu_t'-q\gamma(B_y+\frac{\beta}{c}E_z)u_z'+q\gamma(B_z-\frac{\beta}{c}E_y)u_y'
\end{split}
\]
将上式与洛伦兹力的分量表达式
\[F_x'=q(\frac{-i}{c}u_t'E_x'+u_y'B_z'-u_z'B_y')
\]
对照，\(u_t',u_z',u_y'\)的系数分别相等，得到
\[B_z'=\gamma(B_z-\frac{\beta}{c}E_y),\\
B_y'=\gamma(B_y+\frac{\beta}{c}E_z),\\
E_x'=E_x.
\]
同理，利用\(F_y',F_z'\)可以得到其余分量的变换式。最后的结果为
\[\begin{cases}
E_x'=E_x,\\
E_y'=\gamma(E_y-VB_z),\\
E_z'=\gamma(E_z+VB_y).
\end{cases}
\]
\[\begin{cases}
B_x'=B_x,\\
B_y'=\gamma(B_y+\frac{V}{c^2}E_z),\\
B_z'=\gamma(B_z-\frac{V}{c^2}E_y).
\end{cases}
\]
运动点电荷的电场
下面根据电磁场的变换公式导出匀速运动的点电荷产生的电场。
考虑一个电量为\(q\)的点电荷静止地置于参考系\(K'\)的坐标原点。在\(K'\)系中，该点电荷产生的电场是静电场
\[\boldsymbol{E'}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\boldsymbol{\hat{r'}}}{r'^2}
\]
它的三个分量为
\[\begin{cases}
E_x'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx'}{r'^3},\\
E_y'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qy'}{r'^3},\\
E_z'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qz'}{r'^3}.
\end{cases}
\]
其中\(r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\)。由于\(K'\)系中的点电荷静止，不存在磁场，即
\[B_x'=0,\quad B_y'=0,\quad B_z'=0
\]
现在设参考系\(K'\)相对于\(K\)系以沿\(x\)轴正向的速度\(v\)运动。在\(K\)系中的电场就是待求的电场。
\[E_x=E_x',\quad E_y=\gamma E_y',\quad E_z=\gamma E_z'
\]
代入\(E'\)各分量表达式，并利用\((x,y,z,w)\)的洛伦兹变换得到
\[\begin{cases}
E_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx'}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma(x-vt)}{[\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}},\\
E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma qy'}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma y}{[\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}},\\
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma qz'}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma z}{[\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}}
\end{cases}
\]
为了更直观地分析场强大小的分布情况，不妨取\(t=0\)的位置，此时电荷刚好在\(K\)系的坐标原点
\[\begin{cases}
E_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma x}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\\
E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma y}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\\
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma z}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.
\end{cases}
\]
\[\begin{split}
E^2&=E_x^2+E_y^2+E_z^2 \\
&=\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2\gamma^2(x^2+y^2+z^2)}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3}}\\
&=\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2(1-\beta^2)^2}{(x^2+y^2+z^2)[1-\frac{\beta^2(y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}]^{3}}
\end{split}
\]
注意到矢径与速度\(v\)之间的夹角，也就是与\(x\)轴之间的夹角\(\theta\)，且\(\sin^2\theta=\frac{y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\[E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}\cdot\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}}
\]
可见场强的大小与\(r\)和夹角都有关，当\(\theta=\pi/2\)时，场强最大，也就是说场强在\(yz\)平面附近比较密集，电荷的速度越大，这一效应越明显。
运动点电荷的磁场
继续利用电磁场变换公式得到点电荷匀速运动情况下空间的磁感应强度
\[\begin{cases}
B_x=0,\\
B_y=-\gamma \frac{v}{c^2}E_z'=\frac{v}{c^2}E_z,\\
B_z=\gamma\frac{v}{c^2}E_y'=\frac{v}{c^2}E_y.
\end{cases}
\]
写成矢量式为
\[\boldsymbol{B}=\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{E}
\]
空间的磁场也是随时间变化，并且磁感线是一系列的同心圆。
互感和自感
互感
一个线圈的电流的变化引起另一个线圈的磁通量的变化，在另一个线圈中产生感应电动势。
\[\Psi_{12}=M_{12}I_1
\]
\[\Psi_{21}=M_{21}I_2
\]
线圈1在线圈2中产生的感应电动势为
\[\varepsilon_2=-M_{12}\frac{{\rm d}I_1}{{\rm d}t}
\]
线圈2在线圈1中产生的感应电动势为
\[\varepsilon_1=-M_{21}\frac{{\rm d}I_2}{{\rm d}t}
\]
\(M_{21}\)和\(M_{12}\)称为互感系数，并且它们是相等的。
自感
一个线圈中的电流的变化引起自身的磁通量的变化，进而产生感应电动势。
\[\Psi = LI
\]
\[\varepsilon=-L\ \frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}
\]
电感储能
一个通电的线圈也会储存一定的能量。考虑一个线圈的情况：当线圈刚刚通电时，线圈中的电流不会立即从0突变到稳定值，这是由于自感电动势的存在。在这个过程中，外电源的电动势不仅要供给电路中的焦耳热的能量，还要克服自感电动势做功，这一部分功最后会转变成电感中的磁场能储存起来。在时间\({\rm d}t\)内，电源的电动势反抗电感的自感电动势做的功为
\[{\rm d}A=-\varepsilon_L i{\rm d}t
\]
其中\(\varepsilon_L\)为
\[\varepsilon_L=-L\ \frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}
\]
因此
\[{\rm d}A=Li{\rm d}i
\]
在建立电流的整个过程中，电源的电动势反抗自感电动势做的功为
\[A=\int{\rm d}A=\int_0^I Li{\rm d}i=\frac{1}{2}LI^2
\]
这就是线圈中储存的能量。
新概念物理：第三章知识梳理
