恒磁场 知识梳理

安培定律

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  恒定电流只能存在于闭合回路中，但是闭合回路的形状是千变万化的，直接研究整个闭合回路的话问题会变得非常复杂。为此，干脆将载流回路分割为无限个无穷小的线元，叫做电流元，只要知道了任意一对电流元之间相互作用的基本规律，整个闭合回路的手里就可以通过矢量叠加计算出来。
  在回路1中取一个电流元1，在回路2中取一个电流元2，设$\mathrm{d}{\mathit{F}}_{12}$为电流元给电流元2的力，$I_1$和$I_2$分别为它们的电流，$\mathrm{d}{l}_1$和$\mathrm{d}{l}_2$分别为两线元的长度，$r_{12}$为两电流元之间的距离，则

$$\begin{array}{}\text{(2.12)}& \mathrm{d}{\mathit{F}}_{12}=k\frac{I_1{I}_2\mathrm{d}{\mathit{l}}_2\times (\mathrm{d}{\mathit{l}}_1\times {\hat{\mathit{r}}}_{12})}{{r_{12}}^2}\end{array}$$

式中${\hat{\mathit{r}}}_{12}$为沿${\mathit{r}}_{12}$方向的单位矢量。上式就是安培定律的完整表达式。然而，由$(2.12)$式确定的电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿第三定律（牛顿第三定律只适用于质点间的接触作用）。但是实际中不存在孤立的恒定电流元，它们总是闭合回路的一部分。可以证明：若将$(2.12)$式沿闭合回路积分，得到的合成作用力总是与反作用力大小相等、方向相反的。

电流单位——安培

  国际上现行的电磁学单位制是$\mathrm{M}\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{A}$制，$\mathrm{A}$即安培。“安培”这个基本单位的定义和绝对测量正是以$(2.12)$为依据的。力的单位是$\mathrm{N}=\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$长度的单位是$\mathrm{m}$，对于其余部分作以下操作：

1. 令比例系数$k=\frac{{\mu }_0}{4\pi }$；
2. 取${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}$；

这样确定下来的电流单位就是安培，记作$\mathrm{A}$。反过来可以定比例系数的量纲：

$$[{\mu }_0]=\frac{[F]}{[I{]}^2}=[F]I^{-2}$$

即

$${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}\mathrm{N}/{\mathrm{A}}^2$$

磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律

  库仑在得到点电荷之间的相互作用力的平方反比关系之后，经过实验证明了点磁荷之间也服从类似的公式

$$F=\frac{1}{4\pi {\mu }_0}\frac{q_{m1}{q}_{m2}}{r^2}$$

  上式称为磁的库仑定律。与电场强度的定义$\mathit{E}=\mathit{F}/q_e$对应地，我们引进磁场强度$\mathit{H}$的概念

$$\mathit{H}=\frac{\mathit{F}}{q_{m0}}$$

  这里$\mathit{F}$是试探点磁荷$q_{m0}$所受的力。由此可见，磁场强度矢量$\mathit{H}$是从磁荷间的相互作用出发定义的物理量。现在我们从电流间的相互作用出发也可以定义一个描述磁场的矢量——磁感应强度矢量$\mathit{B}$.在$\mathrm{M}\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{A}$单位制下，真空中二者的关系为

$$\mathit{B}={\mu }_0\mathit{H}$$

  为了求出磁感应强度的表达式，不妨采用类似于试探电荷的思路。先在$\mathrm{M}\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{A}$单位制中将安培定律$(2.12)$改写为

$$\begin{array}{}\text{(2.17)}& \mathrm{d}{\mathit{F}}_{12}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I_1{I}_2\mathrm{d}{\mathit{l}}_2\times (\mathrm{d}{\mathit{l}}_1\times {\hat{\mathit{r}}}_{12})}{{r_{12}}^2}\end{array}$$

  然后，将电流元$I_2\mathrm{d}{\mathit{l}}_2$视作试探电流元，将$\mathrm{d}{\mathit{F}}_{12}$视作电流元2所受的力$\mathrm{d}{\mathit{F}}_2$，用这个力来描述磁感应强度。上式拆分成两部分：

$$\begin{array}{}\text{(2.18)}& \mathrm{d}{\mathit{F}}_2=I_2\mathrm{d}{\mathit{l}}_2\times \mathrm{d}\mathit{B}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.19)}& \mathit{B}={\oint }_{L1}\mathrm{d}\mathit{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{L1}\frac{I_1\mathrm{d}{\mathit{l}}_1\times {\hat{\mathit{r}}}_{12}}{{r_{12}}^2}\end{array}$$

  $(2.18)$式是磁感应强度的定义式，$(2.19)$是闭合回路$L_1$在电流元2的位置产生的磁感应强度的公式。有趣的是，$(2.18)$式实际上拓展了$\mathrm{d}{\mathit{F}}_2$的含义，此时的磁场$\mathit{B}$可以是某个闭合回路产生的，也可以是磁铁等场源产生的。
  关于磁感应强度的单位：按照$(2.18)$定义，$\mathit{B}$的单位是$\mathrm{N}/\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}$，这其实就是特斯拉，用$\mathrm{T}$表示。另外，实际中另一种单位也很常见——高斯，用$\mathrm{G}\mathrm{s}$表示。例如，线性霍尔AH49E的数据手册用的就是Gs:

两个单位的换算关系是

$$1\mathrm{T}={10}^4\mathrm{G}\mathrm{s}$$

毕奥-萨伐尔定律

为了计算各种回路产生的磁场分布，由$(2.19)$，取任意闭合回路、任意场点，略去1、2不写，有

$$\begin{array}{}\text{(2.19)}& \mathit{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_L\frac{I\mathrm{d}\mathit{l}\times \hat{\mathit{r}}}{r^2}\end{array}$$

这就是毕奥-萨伐尔定律。

亥姆霍兹线圈

  取一对相同的圆形线圈，彼此平行且共轴。设两线圈内的电流都是$I$，且回绕方向一致，线圈的半径为$R$，二者的间距为$a$，$(1)$求轴线上的磁场分布；$(2)$$a$多大时据两线圈等远的中点$O$附近的磁场最均匀？

  建立如图坐标系。如果两个线圈间距太远，则原点处有极小值；如果两个线圈间距太近，则原点处出现极大值。只要距离$a$取得合适，可以使得$x=0$处${\mathrm{d}}^{2}B/\mathrm{d}{x}^2=0$,这时在$O$点附近的磁场应当是相当均匀的。即，对于不同的$a$来说，$O$点附近磁场最均匀的条件是

$$\mathrm{在}x=0\mathrm{处}\frac{{\mathrm{d}}^{2}B}{\mathrm{d}{x}^2}=0$$

这一条件也可以用泰勒级数更严谨地证明。令$B(x)$代表总的磁感应强度，在 $x=0$ 处的泰勒展开为

$$B(x)=B(0)+x{\left(\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x}\right)}_{x=0}+\frac{x^2}{2!}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}B}{\mathrm{d}{x}^2}\right)}_{x=0}+\frac{x^3}{3!}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{3}B}{\mathrm{d}{x}^3}\right)}_{x=0}+\cdots$$

由于$B(x)=B(-x)$，即$B(x)$是关于$x$的偶函数，所以奇次项都等于0.进一步地，如果${\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}B}{\mathrm{d}{x}^2}\right)}_{x=0}=0$，则

$$B(x)=B(0)+\frac{x^4}{4!}{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{4}B}{\mathrm{d}{x}^4}\right)}_{x=0}+o(x^4)$$

新概念物理中直接将第二项和第三项合并称为$O(x^4)$，认为它代表的是$x$的四次方及更高幂次的小量，但是我没记错的话它只能代表更高阶的小量，莫非$o$的大小写还会带来不同的含义🤔不管怎么说，结论就是$B(x)$将在相当大的范围内均匀。
  后面的推导无非就是将磁感应强度的表达式写出来，再求导，令二阶导函数等于零，过程就不打了。结论是，O点附近场强最均匀的条件为

$$a=R$$

即两线圈的间距等于他们的半径。这种间距等于半径的一对共轴圆线圈，称为亥姆霍兹线圈。这种线圈可以产生均匀磁场，当所需的磁场强度不太大时，用它比较方便。

螺线管

  设无限长螺线管的单位长度的匝数为$n$，每匝的电流为$I$，则无限长螺线管产生的磁场为

$$B={\mu }_{0}nI$$

安培环路定理

载流线圈与磁偶极层的等价性

闭合载流线圈产生的磁场正比于线圈回路对场点所张立体角的梯度：

$$\mathit{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\mathbf{\nabla }\mathrm{\Omega }$$

这一结论是由毕奥-萨伐尔定律推出，可以用于证明安培环路定理，此处从略。

安培环路定理

表述:磁感应强度沿任何闭合环路$L$的线积分，等于穿过这环路所有电流的代数和的${\mu }_0$倍。用公式来表示，则有

$${\oint }_L\mathit{B}\mathrm{d}\mathit{l}={\mu }_0\sum I_{encl}$$

其中电流$I$的正负规定为：当穿过回路的电流方向与回路的环绕方向服从右手定则时，$I>0$，反之，$I<0$。如果电流不穿过回路，则它对上式右端无贡献。但是$\mathit{B}$包含了空间中所有电流产生的磁场强度的矢量和，包括那些不穿过回路的电流，只不过这些电流最后沿闭合回路积分后的总效果等于0。

关于对称性

一个系统在任何操作下下的不变性，都是“对称性”。绕固定轴旋转的不变性是轴对称性，绕固定点旋转的不变性是球对称性，沿特定方向平移的不变性是平移对称性，等等。在对称的条件下必然有对称的结果，例如点电荷具有球对称性，故电场的分布必然是球对称的，这便是对称性原理。在电磁学中对称性原理的应用特别突出。

在空间反射下的不变性叫做镜像对称性。建立一个空间直角坐标系$Oxyz$，它在镜面后成的像为左手坐标系$O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$。其中，$x$轴、$y$轴分别和$x^{\prime }$轴和$y^{\prime }$轴同向平行，$z$轴和$z^{\prime }$轴反向平行，这就是镜像反射变换。

根据镜像反射变换的结果不同，可以将矢量分为极矢量和轴矢量。如果矢量变换后与镜面垂直的分量反向，平行分量不变，则这类矢量称为极矢量。如果矢量变换后与镜面垂直的分量不变，平行的分量反向，则这类矢量称为轴矢量。例如，磁感应强度$\mathit{B}$、磁矩$\mathit{m}$都是轴矢量。容易证明，两个极矢量相乘，得到的是轴矢量。

按照毕奥-萨伐尔定律，磁感应强度是电流元和矢径的叉乘$(\mathrm{d}\mathit{l}\times \mathit{r})$，因此磁感应强度是轴矢量。由此可以得到一个重要的推论：镜面对称的载流系统产生的磁感应强度必与该面垂直，也就是没有水平分量，只有垂直分量。

磁场的高斯定理 磁矢势

磁场的“高斯定理”

规定通过一个闭合曲面$S$的磁通量为

$${\mathrm{\Phi }}_b=◯\int {\int }_S\mathit{B}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{S}$$

由于磁感线总是闭合的，从一个曲面穿进，必定会从某一处穿出，因此通过闭合曲面的磁通量为0

$${\mathrm{\Phi }}_b=◯\int {\int }_S\mathit{B}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{S}=0$$

这就是磁场的“高斯定理”。

磁矢势

参考:磁矢势-小时百科
磁场中的磁矢势与静电场中的电势在概念上相当，只不过前者是矢量，后者是标量。
引入
磁感应强度$\mathit{B}$永远是一个无散场。根据旋度的逆运算定理1，任何无散场$\mathit{B}$可以表示成某个矢量场$\mathit{A}$的旋度，即

$$\mathit{B}=\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A}$$

这个$\mathit{A}$就是磁矢势。

磁场对载流导线的作用

安培力

将式(2.18)略去下标，得

$$\mathrm{d}\mathit{F}=I\mathrm{d}\mathit{l}\mathbf{\times }\mathit{B}$$

这就是安培力。

磁矩

对于处于均匀磁场中的任意形状的载流平面线圈，设它的右旋法向矢量为$\mathit{n}$，磁矩为

$$\mathit{m}=IS\mathit{n}$$

受到的力矩为

$$\mathit{L}=\mathit{m}\mathbf{\times }\mathit{B}$$

任意形状的载流平面线圈作为整体，在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩，这力矩总是试图使线圈的磁矩$\mathit{m}$转到磁感应强度$\mathit{B}$的方向。

带电粒子在磁场中受力

洛伦兹力

$$\mathit{F}=q\mathit{v}\mathbf{\times }\mathit{B}$$

霍尔效应

把一片载流导体薄片放置于磁场中时，如果磁场方向垂直于薄片平面，则在薄片的上、下两侧面会出现微弱的电势差。这一现象称为霍尔效应（Hall effect）。此电势差称为霍尔电势差。实验测定，霍尔电势差的大小与电流$I$和磁感应强度$B$成正比，与导体沿$B$方向的厚度成反比。它们的关系可写成

$$V=R_H\frac{IB}{d}$$

$R_H$是霍尔系数（Hall coefficient）

$$R_H=\frac{1}{nq}$$

半导体内载流子的浓度远比金属中的载流子浓度小，所以半导体的霍尔效应要显著得多。