电磁学 数学储备

A 矢量的乘积和对称性

矢量的标积

AB是两个任意矢量,则他们的标积定义为

AB=AxBx+AyBy+AzBz

矢量的矢积

AB是两个任意矢量,则他们的矢积定义为如下矢量

A×B=|ijkAxAyAzBxByBz|

矢量的三重积

(1)三重标积A(B×C)
这种三重积是一个标量,解析式为

A(B×C)=|AxAyAzBxByBzCxCyCz|

几何意义:这个三重积的绝对值等于以A,B,C三矢量为棱组成的平行六面体的体积.三个矢量可以轮换,只要循环次序不变,结果就不变

A(B×C)=B(C×A)=C(A×B)

(2)三重矢积A×(B×C)
这种三重积是一个矢量.由于B×C的结果与B,C平面垂直,那么A叉乘以后的最终结果就又回到了该平面内,也就是说

A×(B×C)=α1B+α2C

存在恒等式

A×(B×C)=(AC)B(AB)C

一般正交曲线坐标系的概念

任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量u1,u2,u3.例如,在直角坐标系中,u1=x,u2=y,u3=z.下列方程式

{u1=Constantu2=Constantu3=Constant

代表三组曲面,称为坐标面.若三组坐标面在空间的每一点正交,则坐标面的交线也在空间的每一点正交,这种坐标系叫做正交曲线坐标系(orthogonal curvilinear coordinate system).在空间的每一点可以沿三条交线的方向各取一个单位矢量,这三个矢量e1,e2,e3叫做坐标系的单位基矢.直角坐标系可以看作正交曲线坐标系的一个特例,它的单位基矢方向是恒定不变的.在一般的正交曲线坐标系中,单位基矢的方向可能逐点变化,但在每一点仍保持正交.常见的正交曲线坐标系有球坐标系,柱坐标系,抛物线坐标系和椭圆坐标系等.

沿三个基矢的线段元dl1,dl2,dl3分别与三坐标变量的微分du1,du2,du3成正比

{dl1=h1du1dl2=h2du2dl3=h3du3

在直角坐标系中, h1=h2=h3=1,但在一般的正交曲线坐标系中,它们往往不等于1.

柱坐标系

在原有的直角坐标系的基础上定义柱坐标系(Cylindrical coordinate system),如图1,可以用三个变量(r,φ,z)描述坐标系中的任意一点.柱坐标系相当于在极坐标系的基础上增加了一根垂直轴.

柱坐标系的三个变量为

u1=ρ,u2=φ,u3=z

柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为

{x=ρcosφ,y=ρsinφ,z=z.{ρ=x2+y2φ=arctanyxz=z

柱坐标系三个变量的取值范围是

0ρ<+,0φ<2π,<z<+

柱坐标系的三个坐标面为

  1. ρ=Constant,这是以z轴为轴线的圆柱.
  2. φ=Constant,这是通过z轴的半平面.
  3. z=Constant,这是与z轴垂直的平面.

显然,三组坐标面彼此正交,属于正交曲线坐标系.柱坐标系中的三个基矢分别为eρ,eφ,ez,则沿基矢方向的三个线段元为

dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz

对照得

hρ=1,hφ=ρ,hz=z

与直角坐标系不同,现在的单位基矢是关于坐标的函数.

球坐标系

球坐标系往往在直角坐标系的基础上定义,三维直角坐标系中的任意一点P的位置都可以用(r,θ,φ)这三个有序实数来表示,称为该点的球坐标系(spherical coordinates).其中r表示该点到原点的距离(r0),即位矢的模长;θ表示该点的位矢与z轴的夹角,(θ[0,π]),即极角(polar angle).φ表示该点的位矢与xy平面上的投影与x轴的夹角,即方位角(azimuthal angle).显然,球坐标系的三个坐标面也互相垂直.

三个球坐标分别对应单位矢量er,eθ,eφ(或者r^,θ^,ϕ^)彼此正交.定义它们的方向分别指向对应坐标增加的方向,任意三维矢量都可以表示成它们的线性组合

A=Arer+Aθeθ+Aφeφ

另外,球坐标的三个坐标按照(r,θ,φ)排序,是为了使单位矢量满足

r^×θ^=ϕ^

可以类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足i×j=k.这也是对所有正交曲线坐标系的要求.

在球坐标系中沿基矢方向的三个线段元为

dlr=dr,dlθ=rdθ,dlϕ=rsinθdϕ;

hr=1,hθ=r,hϕ=rsinθ

B 矢量分析提要

参考:矢量分析总结-小时百科

标量场和矢量场

(1)标量场
含义:标量场,就是在空间各点存在着的一个标量Φ,它的数值是空间位置的函数.

Φ=Φ(x,y,z)

等值面,就是下列方程式的轨迹

Φ=Constant

(2)矢量场
含义:矢量场,就是在空间各点存在着的一个矢量,它的大小和方向是空间位置的函数.

A=A(x,y,z)

场线:有方向的曲线,其上每一点切线的方向都与A的方向一致.
场管:由一束场线围城的管状区域。

标量场的梯度

(1)定义
标量场的梯度定义为这样一个矢量,它沿方向微商最大的方向,数值上等于这个最大的方向微商,通常记作gradΦΦ.

Φ=Φn

标量场的梯度是矢量场.
(2)坐标表示式
在正交曲线坐标系中,标量场梯度的一般表达式为

U=1h1Uu1e1+1h2Uu2e2+1h3Uu3

矢量场的通量和散度 高斯定理

(1)定义
矢量场A通过一个截面S的通量ΦA定义为

ΦA=(S)AdS

S为一闭合曲面,它包含的体积为ΔV,设想S面逐渐缩小到空间某点P,则A在该曲面上的通量也趋近于0.若通量与体积之比的极限存在,将这个极限定义为矢量场AP点的散度

divA=A=limΔV0ΦAΔV

矢量场的散度是标量场.
(2)散度的坐标表示

A=Axx+Ayy+Azz

(3)高斯定理

SAdS=VAdV

矢量场通过任意闭合曲面S的通量,等于它所包围的体积V内散度的积分.

矢量场的环量和旋度 Stokes定理

(1)定义
矢量场A沿闭合回路的积分称为环量:

ΓA=LAdl

ΔS为闭合曲线包围的面积,nΔS的右旋单位法向矢量.设想回路逐渐缩小,最后缩到空间某点P,则ΓA也会随之趋近于0.若环量ΓA与面积ΔS之比有一个极限,则这极限值为矢量场A的旋度在n上的投影.A的旋度为

(×A)n=limΔS0AdlΔS

(2)旋度的坐标表达式

×A=|ijkxyzAxAyAz|

(3)Stokes定理

LAdl=S(×A)dS

矢量场在任意闭合回路上的环量,等于以它为边界的曲面上旋度的积分.

矢量场的类别和分解

(1)有散场和无散场
散度为0,即无源,为无散场;散度不为0,即有源,为有散场.由公式

×A=0

知,任何矢量场的旋度永远是无散场.
反之亦然,任何无散场B可以表示成某个矢量场A的旋度.

(2)有旋场和无旋场
旋度为 0,为无旋场;反之为有旋场.由公式

×Φ=0

知,任何标量场的梯度永远是个无旋场.
反之亦然,任何无旋场A可以表成某个标量场Φ的梯度

×A=0,A=Φ

Φ为无旋场A的势函数,故无旋场又称为势场.
(3)谐和场
若一矢量场A在某空间范围内既无散又无旋,则这矢量场称为谐和场.设矢量场的势函数为Φ,由无旋可知

×A=0,A=Φ

再由无散可知

A=Φ=0

2Φ=0

上式叫做拉普拉斯方程.谐和场的势函数满足拉普拉斯方程.
(4)一般矢量场的分解
在普遍的情形下,一个矢量场A可以既是有旋的,又是有散的.在这种情况下A可以分解为两部分

A=A+A

A:势场,即无旋场;
A:无散的有旋场.
上述分解并不唯一,其中可以相差一个任意的谐和场.
参考链接:矢量算符运算法则

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