电磁学 数学储备
A 矢量的乘积和对称性
矢量的标积
设
矢量的矢积
设
矢量的三重积
(1)三重标积
这种三重积是一个标量,解析式为
几何意义:这个三重积的绝对值等于以
(2)三重矢积
这种三重积是一个矢量.由于
存在恒等式
一般正交曲线坐标系的概念
任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量
代表三组曲面,称为坐标面.若三组坐标面在空间的每一点正交,则坐标面的交线也在空间的每一点正交,这种坐标系叫做正交曲线坐标系(orthogonal curvilinear coordinate system).在空间的每一点可以沿三条交线的方向各取一个单位矢量,这三个矢量
沿三个基矢的线段元
在直角坐标系中,
柱坐标系
在原有的直角坐标系的基础上定义柱坐标系(Cylindrical coordinate system),如图1,可以用三个变量
柱坐标系的三个变量为
柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为
柱坐标系三个变量的取值范围是
柱坐标系的三个坐标面为
,这是以z轴为轴线的圆柱. ,这是通过 轴的半平面. ,这是与 轴垂直的平面.
显然,三组坐标面彼此正交,属于正交曲线坐标系.柱坐标系中的三个基矢分别为
对照得
与直角坐标系不同,现在的单位基矢是关于坐标的函数.
球坐标系
球坐标系往往在直角坐标系的基础上定义,三维直角坐标系中的任意一点
三个球坐标分别对应单位矢量
另外,球坐标的三个坐标按照
可以类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足
在球坐标系中沿基矢方向的三个线段元为
B 矢量分析提要
参考:矢量分析总结-小时百科
标量场和矢量场
含义:标量场,就是在空间各点存在着的一个标量
等值面,就是下列方程式的轨迹
含义:矢量场,就是在空间各点存在着的一个矢量,它的大小和方向是空间位置的函数.
场线:有方向的曲线,其上每一点切线的方向都与
场管:由一束场线围城的管状区域。
标量场的梯度
标量场的梯度定义为这样一个矢量,它沿方向微商最大的方向,数值上等于这个最大的方向微商,通常记作
标量场的梯度是矢量场.
在正交曲线坐标系中,标量场梯度的一般表达式为
矢量场的通量和散度 高斯定理
矢量场
令
矢量场的散度是标量场.
矢量场通过任意闭合曲面
矢量场的环量和旋度 Stokes定理
矢量场
令
矢量场在任意闭合回路上的环量,等于以它为边界的曲面上旋度的积分.
矢量场的类别和分解
散度为0,即无源,为无散场;散度不为0,即有源,为有散场.由公式
知,任何矢量场的旋度永远是无散场.
反之亦然,任何无散场
旋度为 0,为无旋场;反之为有旋场.由公式
知,任何标量场的梯度永远是个无旋场.
反之亦然,任何无旋场
若一矢量场
再由无散可知
即
上式叫做拉普拉斯方程.谐和场的势函数满足拉普拉斯方程.
在普遍的情形下,一个矢量场
上述分解并不唯一,其中可以相差一个任意的谐和场.
参考链接:矢量算符运算法则
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