电磁学 数学储备

A 矢量的乘积和对称性

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矢量的标积

设$\mathit{A}$和$\mathit{B}$是两个任意矢量，则他们的标积定义为

$$\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathit{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$$

矢量的矢积

设$\mathit{A}$和$\mathit{B}$是两个任意矢量,则他们的矢积定义为如下矢量

$$\mathit{A}\mathbf{\times }\mathit{B}=\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ \\ A_x& A_y& A_z\\ \\ B_x& B_y& B_z\end{array}\right|$$

矢量的三重积

(1)三重标积$\mathit{A}\mathbf{\cdot }(\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C})$
这种三重积是一个标量,解析式为

$$\mathit{A}\mathbf{\cdot }(\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C})=\left|\begin{array}{ccc}{A}_x& A_y& A_z\\ \\ B_x& B_y& B_z\\ \\ C_x& C_y& C_z\end{array}\right|$$

几何意义:这个三重积的绝对值等于以$\mathit{A},\mathit{B},\mathit{C}$三矢量为棱组成的平行六面体的体积.三个矢量可以轮换,只要循环次序不变,结果就不变

$$\mathit{A}\mathbf{\cdot }(\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C})=\mathit{B}\mathbf{\cdot }(\mathit{C}\mathbf{\times }\mathit{A})=\mathit{C}\mathbf{\cdot }(\mathit{A}\mathbf{\times }\mathit{B})$$

(2)三重矢积$\mathit{A}\mathbf{\times }(\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C})$
这种三重积是一个矢量.由于$\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C}$的结果与$\mathit{B},\mathit{C}$平面垂直,那么$\mathit{A}$叉乘以后的最终结果就又回到了该平面内,也就是说

$$\mathit{A}\mathbf{\times }(\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C})={\alpha }_1\mathit{B}+{\alpha }_2\mathit{C}$$

存在恒等式

$$\mathit{A}\mathbf{\times }(\mathit{B}\mathbf{\times }\mathit{C})=(\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathit{C})\mathit{B}-(\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathit{B})\mathit{C}$$

一般正交曲线坐标系的概念

任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量$u_1,u_2,u_3$.例如,在直角坐标系中,$u_1=x,u_2=y,u_3=z$.下列方程式

$$\{\begin{array}{l}{u}_1=Constant\\ u_2=Constant\\ u_3=Constant\end{array}$$

代表三组曲面,称为坐标面.若三组坐标面在空间的每一点正交,则坐标面的交线也在空间的每一点正交,这种坐标系叫做正交曲线坐标系(orthogonal curvilinear coordinate system).在空间的每一点可以沿三条交线的方向各取一个单位矢量,这三个矢量${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,{\mathit{e}}_3$叫做坐标系的单位基矢.直角坐标系可以看作正交曲线坐标系的一个特例,它的单位基矢方向是恒定不变的.在一般的正交曲线坐标系中,单位基矢的方向可能逐点变化,但在每一点仍保持正交.常见的正交曲线坐标系有球坐标系,柱坐标系,抛物线坐标系和椭圆坐标系等.

沿三个基矢的线段元$\mathrm{d}{l}_1,\mathrm{d}{l}_2,\mathrm{d}{l}_3$分别与三坐标变量的微分$\mathrm{d}{u}_1,\mathrm{d}{u}_2,\mathrm{d}{u}_3$成正比

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{d}{l}_1=h_1\mathrm{d}{u}_1\\ \mathrm{d}{l}_2=h_2\mathrm{d}{u}_2\\ \mathrm{d}{l}_3=h_3\mathrm{d}{u}_3\end{array}$$

在直角坐标系中, $h_1=h_2=h_3=1$,但在一般的正交曲线坐标系中,它们往往不等于1.

柱坐标系

在原有的直角坐标系的基础上定义柱坐标系(Cylindrical coordinate system),如图1,可以用三个变量$(r,\phi ,z)$描述坐标系中的任意一点.柱坐标系相当于在极坐标系的基础上增加了一根垂直轴.

柱坐标系的三个变量为

$$u_1=\rho ,u_2=\phi ,u_3=z$$

柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为

$$\{\begin{array}{rl}& x=\rho \cos \phi ,\\ & y=\rho \sin \phi ,\\ & z=z.\end{array}\{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{x^2+y^2}\\ \phi =\arctan \frac{y}{x}\\ z=z\end{array}$$

柱坐标系三个变量的取值范围是

$$0\le \rho <+\mathrm{\infty },0\le \phi <2\pi ,-\mathrm{\infty }<z<+\mathrm{\infty }$$

柱坐标系的三个坐标面为

1. $\rho =Constant$,这是以z轴为轴线的圆柱.
2. $\phi =Constant$,这是通过$z$轴的半平面.
3. $z=Constant$,这是与$z$轴垂直的平面.

显然,三组坐标面彼此正交,属于正交曲线坐标系.柱坐标系中的三个基矢分别为${\mathit{e}}_{\mathit{\rho }},{\mathit{e}}_{\mathit{\phi }},{\mathit{e}}_{\mathit{z}}$,则沿基矢方向的三个线段元为

$$\mathrm{d}{l}_{\rho }=\mathrm{d}\rho ,\mathrm{d}{l}_{\phi }=\rho \mathrm{d}\phi ,\mathrm{d}{l}_z=\mathrm{d}z$$

对照得

$$h_{\rho }=1,h_{\phi }=\rho ,h_z=z$$

与直角坐标系不同,现在的单位基矢是关于坐标的函数.

球坐标系

球坐标系往往在直角坐标系的基础上定义,三维直角坐标系中的任意一点$\mathit{P}$的位置都可以用$(r,\theta ,\phi )$这三个有序实数来表示,称为该点的球坐标系(spherical coordinates).其中$r$表示该点到原点的距离($r\ge 0$),即位矢的模长;$\theta$表示该点的位矢与$z$轴的夹角,($\theta \in [0,\pi ]$),即极角(polar angle).$\phi$表示该点的位矢与$x-y$平面上的投影与$x$轴的夹角,即方位角(azimuthal angle).显然,球坐标系的三个坐标面也互相垂直.

三个球坐标分别对应单位矢量${\mathit{e}}_r,{\mathit{e}}_{\theta },{\mathit{e}}_{\phi }$(或者$\hat{\mathit{r}},\hat{\mathit{\theta }},\hat{\mathit{\varphi }}$)彼此正交.定义它们的方向分别指向对应坐标增加的方向,任意三维矢量都可以表示成它们的线性组合

$$\mathit{A}=A_r{\mathit{e}}_r+A_{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }+A_{\phi }{\mathit{e}}_{\phi }$$

另外,球坐标的三个坐标按照$(r,\theta ,\phi )$排序,是为了使单位矢量满足

$$\hat{\mathit{r}}\mathbf{\times }\hat{\mathit{\theta }}=\hat{\mathit{\varphi }}$$

可以类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足$\mathit{i}\mathbf{\times }\mathit{j}=\mathit{k}$.这也是对所有正交曲线坐标系的要求.

在球坐标系中沿基矢方向的三个线段元为

$$\mathrm{d}{l}_r=\mathrm{d}r,\mathrm{d}{l}_{\theta }=r\mathrm{d}\theta ,\mathrm{d}{l}_{\varphi }=r\sin \theta \mathrm{d}\varphi ;$$

$$h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\varphi }=r\sin \theta$$

B 矢量分析提要

参考:矢量分析总结-小时百科

标量场和矢量场

$(1)$标量场
含义:标量场,就是在空间各点存在着的一个标量$\mathrm{\Phi }$,它的数值是空间位置的函数.

$$\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(x,y,z)$$

等值面,就是下列方程式的轨迹

$$\mathrm{\Phi }=Constant$$

$(2)$矢量场
含义:矢量场,就是在空间各点存在着的一个矢量,它的大小和方向是空间位置的函数.

$$\mathit{A}=\mathit{A}(x,y,z)$$

场线:有方向的曲线,其上每一点切线的方向都与$\mathit{A}$的方向一致.
场管：由一束场线围城的管状区域。

标量场的梯度

$(1)$定义
标量场的梯度定义为这样一个矢量,它沿方向微商最大的方向,数值上等于这个最大的方向微商,通常记作$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }$或$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$.

$$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial n}$$

标量场的梯度是矢量场.
$(2)$坐标表示式
在正交曲线坐标系中,标量场梯度的一般表达式为

$$\mathrm{\nabla }U=\frac{1}{h_1}\frac{\partial U}{\partial u_1}{\mathit{e}}_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial U}{\partial u_2}{\mathit{e}}_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial U}{\partial u_3}$$

矢量场的通量和散度 高斯定理

$(1)$定义
矢量场$\mathit{A}$通过一个截面$\mathit{S}$的通量${\mathrm{\Phi }}_A$定义为

$${\mathrm{\Phi }}_A={\iint }_{(S)}\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathbf{d}\mathit{S}$$

令$\mathit{S}$为一闭合曲面,它包含的体积为$\mathrm{\Delta }V$,设想$S$面逐渐缩小到空间某点$P$,则$\mathit{A}$在该曲面上的通量也趋近于0.若通量与体积之比的极限存在,将这个极限定义为矢量场$\mathit{A}$在$P$点的散度

$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathit{A}=\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{A}=\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{\Phi }}_A}{\mathrm{\Delta }V}$$

矢量场的散度是标量场.
$(2)$散度的坐标表示

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$$

$(3)$高斯定理

$$◯\int {\int }_S\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathbf{d}\mathit{S}={\iiint }_V\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{A}\mathrm{d}V$$

矢量场通过任意闭合曲面$S$的通量,等于它所包围的体积$V$内散度的积分.

矢量场的环量和旋度 Stokes定理

$(1)$定义
矢量场$\mathit{A}$沿闭合回路的积分称为环量:

$${\mathit{\Gamma }}_{\mathit{A}}\mathit{=}{\oint }_{\mathit{L}}\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{l}$$

令$\mathrm{\Delta }S$为闭合曲线包围的面积,$\mathit{n}$为$\mathrm{\Delta }S$的右旋单位法向矢量.设想回路逐渐缩小,最后缩到空间某点$P$,则${\mathit{\Gamma }}_{\mathit{A}}$也会随之趋近于0.若环量${\mathit{\Gamma }}_{\mathit{A}}$与面积$\mathrm{\Delta }S$之比有一个极限,则这极限值为矢量场$\mathit{A}$的旋度在$\mathit{n}$上的投影.$\mathit{A}$的旋度为

$$(\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A}{)}_n=\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{lim}\frac{\oint \mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{l}}{\mathrm{\Delta }S}$$

$(2)$旋度的坐标表达式

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ \\ A_x& A_y& A_z\end{array}\right|$$

$(3)$Stokes定理

$${\oint }_L\mathit{A}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{l}={\iint }_S(\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A})\mathbf{\cdot }\mathbf{d}\mathit{S}$$

矢量场在任意闭合回路上的环量,等于以它为边界的曲面上旋度的积分.

矢量场的类别和分解

$(1)$有散场和无散场
散度为0,即无源,为无散场;散度不为0,即有源,为有散场.由公式

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A}=0$$

知,任何矢量场的旋度永远是无散场.
反之亦然,任何无散场$\mathit{B}$可以表示成某个矢量场$\mathit{A}$的旋度.

$(2)$有旋场和无旋场
旋度为 0,为无旋场;反之为有旋场.由公式

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi }=0$$

知,任何标量场的梯度永远是个无旋场.
反之亦然,任何无旋场$\mathit{A}$可以表成某个标量场$\mathrm{\Phi }$的梯度

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A}=0,\mathit{A}=\mathbf{\nabla }\mathbf{\Phi }$$

$\mathrm{\Phi }$为无旋场$\mathit{A}$的势函数,故无旋场又称为势场.
$(3)$谐和场
若一矢量场$\mathit{A}$在某空间范围内既无散又无旋,则这矢量场称为谐和场.设矢量场的势函数为$\mathrm{\Phi }$,由无旋可知

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathit{A}=0,\mathit{A}=\mathbf{\nabla }\mathbf{\Phi }$$

再由无散可知

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{A}=\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\mathbf{\Phi }=0$$

即

$${\mathbf{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=0$$

上式叫做拉普拉斯方程.谐和场的势函数满足拉普拉斯方程.
$(4)$一般矢量场的分解
在普遍的情形下,一个矢量场$\mathit{A}$可以既是有旋的,又是有散的.在这种情况下$\mathit{A}$可以分解为两部分

$$\mathit{A}={\mathit{A}}_{\mathrm{势}}+{\mathit{A}}_{\mathrm{旋}}$$

${\mathit{A}}_{\mathrm{势}}$:势场,即无旋场;
${\mathit{A}}_{\mathrm{旋}}$:无散的有旋场.
上述分解并不唯一,其中可以相差一个任意的谐和场.
参考链接:矢量算符运算法则