DFS 深度优先算法全解，例习题2.8输出全排列

深度优先搜索算法（英语：Depth-First-Search，简称DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。 沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过或者在搜寻时结点不满足条件，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。属于盲目搜索,最糟糕的情况算法时间复杂度为O(!n)。（Wiki）

（直到走不下去才往回走）

习题2.8全排列：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int a[101],b[101],n;
void print()
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<a[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;
}
inline void dfs(int i) 
{
    int j;
    if(i==n+1)
    {
        print();
        return;
    }
    for(j=1;j<=n;j++)
    {
        if(b[j]==0)
        {
            a[i]=j;
            b[j]=1;
            dfs(i+1);
            b[j]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

解释：https://blog.csdn.net/li_jeremy/article/details/83714298

 

基本模板

int check(参数)
{
    if(满足条件)
        return 1;
    return 0;
}
 
void dfs(int step)
{
        判断边界
        {
            相应操作
        }
        尝试每一种可能
        {
               满足check条件
               标记
               继续下一步dfs(step+1)
               恢复初始状态（回溯的时候要用到）
        }
}   

下面来结合几个dfs实例来理解

到底什么是DFS ？怎么用DFS解决问题 ？

1、全排列问题（习题2.8全排列）

//全排列问题
#include<stdio.h>
#include<string.h>
 
int n;
char  a[15];
char re[15];
int vis[15];
//假设有n个字符要排列，把他们依次放到n个箱子中
//先要检查箱子是否为空，手中还有什么字符，把他们放进并标记。
//放完一次要恢复初始状态，当到n+1个箱子时，一次排列已经结束
void dfs(int step)
{
    int i;
    if(step==n+1)//判断边界
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            printf("%c",re[i]);
        printf("\n");
        return ;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)//遍历每一种情况
    {
        if(vis[i]==0)//check满足
        {
            re[step]=a[i];
            vis[i]=1;//标记
            dfs(step+1);//继续搜索
            vis[i]=0;//恢复初始状态
        }
    }
    return ;
}
 
int main(void)
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    getchar();
    while(T--)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(vis,0,sizeof(vis));//对存数据的数组分别初始化
        scanf("%s",a+1);
        n=strlen(a+1);
        dfs(1);//从第一个箱子开始
    }
    return 0;
}

2.
一个环由个圈组成，把自然数1，2，…，N分别放在每一个圆内，数字的在两个相邻圈之和应该是一个素数。 注意：第一圈数应始终为1。

input: N(0~20)

output:输出格式如下所示的样品。每一行表示在环中的一系列圆号码从1开始顺时针和按逆时针方向。编号的顺序必须满足上述要求。打印解决方案的字典顺序。

//Prime Ring Problem
//与上面的全排列问题其实思路差不多，只是需要判断的条件比较多
//化大为小
 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
 
int book[25];
int result[25];
int n;
int num;
//判断是否为素数
int prime(int n)
{
    if(n<=1)
        return 0;
    int i;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
            break;
    }
    if(i*i>n)
        return 1;
    return 0;
}
//判断是否能将当前的数字放到当前的圈内
int check(int i,int step)
{
    if((book[i]==0) && prime(i+result[step-1])==1)
    {
        if(step==n-1)
        {
            if(!prime(i+result[0]))
                return 0;
        }
        return 1;
    }
    return 0;
}
 
void dfs(int step)
{
    if(step==n)//判断边界
    {
        int a;
        printf("%d",result[0]);
        for(a=1;a<n;a++)
        {
            printf(" %d",result[a]);
        }
        printf("\n");
        return ;
    }
    int i;
    for(i=2;i<=n;i++)//遍历每一种情况
    {
        if(check(i,step))//check是否满足
        {
            book[i]=1;//标记
            result[step]=i;//记录结果
            dfs(step+1);//继续往下搜索
            book[i]=0;//恢复初始状态
        }
    }
}
 
int main(void)
{
 
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        num++;
        memset(result,0,sizeof(result));
        memset(book,0,sizeof(book));
        result[0]=1;
        printf("Case %d:\n",num);//格式比较容易出错
        dfs(1);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

3.油田问题
问题：GeoSurvComp地质调查公司负责探测地下石油储藏。 GeoSurvComp现在在一块矩形区域探测石油，并把这个大区域分成了很多小块。他们通过专业设备，来分析每个小块中是否蕴藏石油。如果这些蕴藏石油的小方格相邻，那么他们被认为是同一油藏的一部分。在这块矩形区域，可能有很多油藏。你的任务是确定有多少不同的油藏。

input: 输入可能有多个矩形区域（即可能有多组测试）。每个矩形区域的起始行包含m和n，表示行和列的数量，1<=n,m<=100，如果m =0表示输入的结束，接下来是n行，每行m个字符。每个字符对应一个小方格，并且要么是’*’，代表没有油，要么是’@’，表示有油。

output: 对于每一个矩形区域，输出油藏的数量。两个小方格是相邻的，当且仅当他们水平或者垂直或者对角线相邻（即8个方向）。

//A - Oil Deposits 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
 
char a[105][105];
int n,m,result;
int dir[8][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1},{1,1},{-1,-1},{1,-1},{-1,1}};//表示8个方向
 
int check(int x,int y)//检查是否有油田
{
    if(x>=0&&x<m&&y>=0&&y<n&&a[x][y]=='@')
        return 1;
    return 0;
}
 
int dfs(int x, int y)
{
    int i,xx,yy;
    if(check(x,y))
    {
        a[x][y]='.'; //统计之后就可以把该油田标记，且不用恢复（要不会重复），
                    //也可以用一个数组来存每个点的访问情况，但是感觉没必要，浪费空间
        for(i=0;i<8;i++)
        {
            xx=x+dir[i][0];
            yy=y+dir[i][1];
            dfs(xx,yy);//依次检查8个方向
        }
        return 1;
    }
    return 0;
}
 
int main(void)
{
    int i,j;
    while(scanf("%d %d",&m,&n)==2)
    {
        if(m==0&&n==0)
            break;
        result = 0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(i=0;i<m;i++)
            scanf("%s",a[i]);
        for(i=0;i<m;i++)//在每一个点都搜索一次
        {
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if(dfs(i,j))//找到油田就可以将结果加1
                    result++;
            }
        }
        printf("%d\n",result);
    }
    return 0;
}

4、棋盘问题
问题：在一个给定形状的棋盘（形状可能是不规则的）上面摆放棋子，棋子没有区别。要求摆放时任意的两个棋子不能放在棋盘中的同一行或者同一列，请编程求解对于给定形状和大小的棋盘，摆放k个棋子的所有可行的摆放方案C。

input： 输入含有多组测试数据。 每组数据的第一行是两个正整数，n k，用一个空格隔开，表示了将在一个n*n的矩阵内描述棋盘，以及摆放棋子的数目。 n <= 8 , k <= n 当为-1 -1时表示输入结束。 随后的n行描述了棋盘的形状：每行有n个字符，其中 # 表示棋盘区域， . 表示空白区域（数据保证不出现多余的空白行或者空白列）。

output：对于每一组数据，给出一行输出，输出摆放的方案数目C （数据保证C<2^31）。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
 
int n, k, ans;
char str[10][10];
int vis[100];
 
void dfs(int r, int k)
{
    if(k==0)//判断边界，此时棋子已经放完
    {
        ans++;
        return;
    }
 
    for(int i=r; i<n; i++)//每次都从放过棋子下一行开始搜索，保证不重复
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            //循环保证行不重复，check保证列不重复
            if(str[i][j]=='.' || vis[j]==1)
                continue;//不满足条件直接跳过
            vis[j] = 1;//标记
            dfs(i+1, k-1);//继续下一次标记
            vis[j] = 0;//恢复初始状态
        }
    }
}
 
int main(void)
{
    while(1)
    {
        scanf("%d %d", &n, &k);
        getchar();
        if(n==-1 && k==-1) 
            break;
        memset(str, '\0', sizeof(str));
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        ans = 0;
 
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
                str[i][j] = getchar();
            getchar();
        }
 
        dfs(0, k);//从第0行开始放，此时手中还剩k个棋子
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

总结一下，用递归法来实现DFS，比较好理解，就一直往下找，知道走不通后在回来尝试其它的地方。一个DFS一般要判断边界，check来判断是否符合相应条件，vis或者book来记录是否已经被用过，递归进行下一步操作。有的时候我们要将标记过的点恢复原来的状态，有时候则不必要恢复(油田问题)，要结合具体的问题来分析。

恢复标记相当于回溯的思想。
回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

一个小建议：DFS理解起来不是很难，但是只理解不练习是没有用的。一定要找一些经典的题目多加练习，只有这样才能加深自己的理解，掌握的也更快。算法题可能难度越来越大，但是也不能放弃，自己先学再练，对自己的思维和编程能力也会有一定的提升。