2022牛客暑期多校第一场 I. Chiitoitsu

2022牛客暑期多校第一场 I. Chiitoitsu

题意

日本麻将共有 $34$ 种牌，每种牌各 $4$ 张，共 $136$ 张牌，给定一开始手上的 $13$ 张牌，剩下的 $123$ 张牌在牌堆中，每次随机从牌堆摸 $1$ 张，摸完后若手上的 $14$ 张牌是 $7$ 对互不相同的对子，则游戏结束，否则需要在 $14$ 张牌中选择 $1$ 张丢弃（不放回牌堆，意味着牌堆中牌的数量会随着摸牌次数逐渐减少），继续上述过程，直到凑满 $7$ 对互不相同的对子。

保证给定的一开始手上的 $13$ 张牌，不会存在 $1$ 种牌超过 $3$ 张。

问，最优策略下的期望摸牌次数。

分析

容易有一个直观的想法：

已有的对子不丢弃。

若对于抽到的牌的种类已经在手里的牌中形成对子，则丢弃抽到的牌。

若抽到的牌在手上无法和已有的牌形成对子，丢弃最不可能在牌堆中再次抽到的那种牌。

若抽到的牌能和手上的某张牌形成对子，则配对，丢弃最不可能在牌堆中抽到的那种牌。

根据这个想法，对于一开始手上的每种牌不是 $2$ 张，就是 $1$ 张，牌堆里的每种牌只可能是 $2$ 张、$3$ 张或 $4$ 张。

一开始，抽到剩余 $3$ 张的必成对，抽到剩余 $4$ 张的必不成对，剩下 $3$ 张牌，此时丢掉其他单牌和丢掉抽到的这张单牌没有本质区别，都会多一种牌有 $1$ 张是浪费掉的，且剩余 $3$ 张都在牌堆里，其余都一样。之后，根据上面直观的想法，曾经被弃掉那种牌不可能再用它来形成对子。

所以最优策略可以贪心的认为，除去手上的对子以外，根据手上的单牌去凑对子。

这个时候，对于要凑成对子但还没凑成对子的牌，在牌堆里只可能剩下 $3$ 张。这样，期望步数就和牌的种类无关，只和手上已经凑了几对牌，以及牌堆里还剩下几张牌有关。

定义状态 $f(i,j)$ 为抽牌之前（手上有 $13$ 张牌），牌堆里还剩 $i$ 张牌，手上已经凑成 $j$ 对对子的期望步数。

显然 $3 \leq i \leq 123, 0 \leq j \leq 6$

由于还需要凑 $7-j$ 对牌，这种状态之下，只有 $3(7-j) \leq i$ 是合法状态。

由于手上有 $13-2j$ 张单牌，这种状态之下，

当 $3(13-2j) \geq i$ 时，接下来抽到的牌一定会和手上的牌成对。

当 $3(13-2j) \leq i$ 时，接下来抽到的牌有 $\frac{3(13-2j)}{i}$ 的概率和手上的牌成对，有 $1-\frac{3(13-2j)}{i}$ 的概率不和手上的牌成对。

根据上述分析，写出状态转移及初始条件：

当 $i>3$ 且 $0 \leq j \leq 5$ 时

$$f(i,j)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{3(13-2j)}{i}f(i-1,j+1)+\left(1-\frac{3(13-2j)}{i}\right)f(i-1,j)+1, &3(13-2j) \leq i \\ &f(i-1,j+1)+1, &3(13-2j) > i\\ \end{aligned} \right.$$

当 $i>3$ 且 $j=6$ 时

$$f(i,j)=\left(1-\frac{3(13-2j)}{i}\right)f(i-1,j)+1$$

特别地，

$$f(3,6)=1\\ $$

于是，最后只需要统计一开始手上的对子数 $c$，答案就是 $f(123,c)$

代码

#include <iostream>
#include <map>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long Lint;
const int mod = 1e9 + 7;
inline int add(int a, int b) {
    return (a += b) < mod ? a : a - mod;
}
inline int mul(int a, int b) {
    return (Lint)a * b % mod;
}
int dp[7], inv[124];
void solve(int kase) {
    string s;
    map<string, int> num;
    cin >> s;
    for (int i = 0; i < s.size(); i += 2) {
        num[s.substr(i, 2)]++;
    }
    int c = 0;
    for (auto it : num)
        c += (it.second == 2);
    cout << "Case #" << kase << ": " << dp[c] << '\n';
}
int main() {
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 123; i++) {
        inv[i] = mul(mod - mod / i, inv[mod % i]);
    }
    dp[6] = 1;
    for (int i = 4; i <= 123; i++) {
        for (int j = 0; j <= 5; j++) {
            if (3 * (7 - j) > i)
                continue;
            if (3 * (13 - 2 * j) >= i) {
                dp[j] = add(dp[j + 1], 1);
            } else {
                int p = mul(3 * (13 - 2 * j), inv[i]);
                dp[j] = add(add(mul(p, dp[j + 1]), mul(add(1, mod - p), dp[j])), 1);
            }
        }
        int p = mul(i - 3, inv[i]);
        dp[6] = add(mul(p, dp[6]), 1);
    }
    int T;
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >> T;
    for (int i = 1; i <= T; i++)
        solve(i);
    return 0;
}