时域混叠和频域混叠

时域混叠和频域混叠

含义#

混叠（英语：Aliasing），在信号频谱上可称作叠频；在影像上可称作叠影，主要来自于对连续时间信号作取样以数字化时，取样频率低于两倍奈奎斯特频率。

如上图，以相同的采样周期对一个高频信号和低频信号进行采样，采出的数字序列相同，此时发生混叠。

解释一下奈奎斯特频率#

一个信号的奈奎斯特频率由该信号中的最高频率分量决定，例如某个信号的傅里叶展开表达式如下：

$$f(t)=cos\pi t +cos 2\pi t + cos4\pi t \tag{1}$$

那么，该信号的奈奎斯特频率为2Hz，因此，根据上述混叠的定义，为了避免混叠，采样频率必须大于4Hz，采样周期必须小于$\frac{1}{4}$ s 。该特性又叫采样定理。

研究一下为什么会产生混叠#

频域是什么#

首先，这里提一嘴，所谓频域只是学者为了研究方便所提出的一个数学概念，因此，它必然拥有一种特性，那就是，它可以方便计算但是难以形象的理解，因为我们的生活是在时域里的，我们的常识也是基于时间的，这让我们更能理解周期而不是频率。但是，借助当今的计算机图形工具，我们还是可以把它可视化的。

看一下混叠在频域是什么样的#

贴一下不好理解的数学推导#

首先对于连续时域信号$g_a(t)$，我们对它进行时域采样得$g_p(t)$ ，即

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n T)\tag{2}$$

$$g_{p}(t)=g_{a}(t) p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g_{a}(n T) \delta(t-n T) \tag{3}$$

根据CTFT（连续时间傅里叶变换），得

$$\begin{aligned} &G_{p}(j \Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g_{p}(t) e^{-j \Omega t} d t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} g_{a}(n T) \delta(t-n T)\right] e^{-j \Omega t} d t \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g_{a}(n T) e^{-j \Omega n T} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) d t \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g_{a}(n T) e^{-j \Omega n T} \end{aligned}\tag{4}$$

对照DTFT（离散时间傅里叶变换）的公式

$$G\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g[n] e^{-j \omega n}\tag{5}$$

得, $G_{p}(j \Omega)$和$G\left(e^{j \omega}\right)$的关系

$$G_{p}(j \Omega)=\left.G\left(e^{j \omega}\right)\right|_{\omega=\Omega T}\tag{6}$$

$p(t)$的傅里叶级数展开

$$p(t)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j(2 \pi / T) k t}=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j \Omega_{T} k t}\tag{7}$$

由$(3)$得$g_{p}(t)$

$$g_{p}(t)=\left(\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j \Omega_{T} k t}\right) \cdot g_{a}(t)\\ =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j \Omega_{T} k t} g_{a}(t)\tag{8}$$

易得$G_{p}(j \Omega)$与$G_{a}(j \Omega)$的关系

$$G_{p}(j \Omega)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} G_{a}\left(j\left(\Omega-k \Omega_{T}\right)\right) \tag{9}$$

另外，还可以通过CTFT的卷积性质得到（9）式

$$\begin{aligned} &g_{p}(t)=g_{a}(t) p(t) \\ &G_{p}(j \Omega)=\frac{1}{2 \pi} G_{a}(j \Omega) * P(j \Omega) \\ &\because P(j \Omega)=\frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(\Omega-k \Omega_{T}\right) \\ &\therefore G_{p}(j \Omega)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} G_{a}\left(j\left(\Omega-k \Omega_{T}\right)\right) \end{aligned}$$

看一下好理解的函数图像#

由是，当采样频率 $\Omega_{T}>2 \Omega_{m}$时，如下图所示

当采样频率 $\Omega_{T}<2 \Omega_{m}$时，如下图所示

 

由此可见，时域的采样引起了频域的周期复制。采样时不符合采样定理会使得时域中某些低频分量和高频分量产生混叠，在频域上的表现就是，一个周期的低频分量和另一个周期的高频分量产生了交叉。

谈谈频域采样#

所谓频域采样就是字面意思，以一定的频率周期在频域连续图像上采集相应的点，采样完，就获得了一组频域序列，假设连续频谱对应的时域为离散序列，那么该频谱就是时域序列的DTFT（离散时间傅里叶变换），这组频域采样序列就是时域序列信号的DFT（离散傅里叶变换）。

DTFT和IDTFT的公式#

$$\left\{\begin{array}{l} X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n} \\ x[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(e^{j \omega}\right) e^{j \omega n} d \omega \end{array}\right. \tag{10}$$

DFT和IDFT的公式#

$$\left\{\begin{array}{l} X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n / N} \\ x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi k n / N} \end{array}\right.\tag{11}$$

令$W_{N}=e^{-j 2 \pi / N}$，得

$$\left\{\begin{array}{l} X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n / N}=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{n k} \quad(0 \leq k \leq N-1)\\ x[n]=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi k n / N}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X[k] W_{N}^{-n k} \quad(0 \leq n \leq N-1) \end{array}\right.\tag{12}$$

对于计算机而言，DFT比DTFT计算容易。

 

这里直接把频域采样定理贴出来#

频域采样定理：频域采样引起时域序列的周期复制，（一个周期内）频域采样的点数大于或等于时域序列点数时，不会引起时域混叠。如不满足，则会造成时域混叠。

 

贴一下难懂的数学推导#

$$\begin{aligned} y[n] &=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y[k] W_{N}^{-k n} \\ &=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} x[\ell] W_{N}^{k \ell} W_{N}^{-k n} \\ &=\sum_{\ell=-\infty}^{\infty} x[\ell][\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} W_{N}^{-k(n-\ell)}]([\cdot]=1, \text { for } \quad l=n+m N)\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n+m N] \quad(0 \leq n \leq N-1) \end{aligned}$$

好吧，这一串单独看还是很难懂得，算了，不管推导过程，我们只要知道，这个式子

$$y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n+m N], \quad 0 \leq n \leq N-1$$

什么意思呢，首先我们有一个M点长度的时域序列$x[n]$，我对它进行DTFT，得频谱$X\left(e^{j \omega}\right)$，然后对频谱以N点为周期采样得，$Y[k]=X\left(e^{j \omega_{k}}\right)$，然后我在对 $Y[k]$ 进行IDFT，得到 $y[n]$ ，上面那个推导出的公式就是$y[n]$和$x[n]$的关系。

 

所以说，频域采样引起时域序列的周期复制 (以频域采样点数N为周期）。

 

那这个和混叠有什么关系嘛，别急，我们可以看看图像

 

从图像上看，频域采样定理言之有理。

总结#

在时域采样后会引起频域的周期复制；在频域采样后会引起时域的周期复制。这就是时域混叠和频域混叠的原因。时域和频域之间大概确实是有一种奇妙的对称性🤔。