背包九讲(4)

背包九讲(4)

混合背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；

每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

• si=−1 表示第 ii 种物品只能用1次；
• si=0 表示第 ii 种物品可以用无限次；
• si>0 表示第 ii 种物品可以使用 si 次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000
−1≤si≤1000−1≤si≤1000

输入样例

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

输出样例：

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思路：

​ 混合背包问题其实就是三种问题的集合，根据不同的物品，使用不同的状态转移方程即可，先把所有物品都放入一个容器中，多重背包可以使用二进制优化为01背包，然后对容器进行遍历，01背包就使用01背包的状态方程，完全背包就用完全背包的转移方程。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N];

struct good{
  int kind;
  int v,w;
};
vector<good>goods;
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        //01背包
        if(s<0)goods.push_back({-1,v,w});
        //完全背包 
        else if(s==0)goods.push_back({0,v,w});
        //多重背包
        else{
            for(int k=1;k<=s;k*=2){
                s-=k;
                goods.push_back({-1,k*v,k*w});
            }
            if(s>0)goods.push_back({-1,s*v,s*w});
        }
    }
     for(auto thing:goods){
            //01背包
            if(thing.kind==-1){
                //从大到小枚举
                for(int j=m;j>=thing.v;j--)
                    f[j]=max(f[j],f[j-thing.v]+thing.w);
            }
            //完全背包
            else if(thing.kind==0){
                //从小到大枚举
                for(int j=thing.v;j<=m;j++)
                    f[j]=max(f[j],f[j-thing.v]+thing.w);
            }
        }
    cout<<f[m];
    return 0;
}