背包九讲（3.2）

背包九讲（3.1）

多重背包问题 II

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 ii 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

思路：
本题物品数量和体积都过大，因此要去优化，一般可以考虑将每个物品拆分开来，这样就是单纯的01背包问题，但是全拆分为1份复杂度过大，因此使用二进制来优化，所谓二进制优化就是每次拆除2的倍数，先拆1再拆2,4...当无法拆时，停止即可，这样需要logS，时间复杂度不会过大，可以接受

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 2020;

int f[N];

struct good{
    int v;
    int w;
};

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<good>goods;
    //将每种物品拆分（利用2进制拆分）
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        for(int k=1;k<=s;k*=2){
            s-=k;
            goods.push_back({v*k,w*k});
        }
        //拆完 有剩余 放入
        if(s>0) goods.push_back({v*s,w*s});
    }
    //拆分完后 就优化成了01背包问题 使用01背包模板即可
    //枚举每个物品
    for(auto good:goods){
        //体积从大到小
        for(int j=m;j>=good.v;j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-good.v]+good.w);
        }
    }
    cout<<f[m];
}