背包九讲(1)

背包九讲(1)

动态规划中的背包大类问题

01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

思路：
首先是最直接的暴力遍历，01背包问题只需要考虑这个东西拿还是不拿，看代码即可

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
    int v[1010]={0};//记录每个物品的体积
    int w[1010]={0};//记录每个物品的价值
    int V;//背包总体积
    int n;//物品总数
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    int res[1010][1010];//res[i][j]表示i个物品装入j体积背包时能得到的最大价值
    res[0][0]=0;
    //res[i][j]=max(res[i-1][j],res[i-1][j-v[i]])
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=V;j++){
            //如果选择不拿这个物品
            res[i][j]=res[i-1][j];
            if(j>=v[i]){
                //如果可以选择拿这个物品 比较拿和不拿的最大值即可
                res[i][j]=max(res[i][j],res[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<res[n][V] ;
}

优化空间复杂度：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
    int v[1010]={0};//记录每个物品的体积
    int w[1010]={0};//记录每个物品的价值
    int V;//背包总体积
    int n;//物品总数
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    int res[1010]={0};//res[j]表示i个物品装入j体积背包时能得到的最大价值
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=V;j>=v[i];j--){
            res[j]=max(res[j],res[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<res[V] ;
}

01背包问题可以将二维数组res优化成为一维数组，只需要将体积从原来的0-V变为V-0，即可。思路是从暴力遍历时发现每个res[i][j]的值只与res[i-1][j]和res[i-1][j-v[i]]有关。f[i][j]是由f[i-1][j]和f[i-1] [j-v[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][j]时（也即在第i次主循环中推f[j]时）能够得到f[i-1][j]和f[i-1][j -v[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以j=V..0的顺序推f[j]，这样才能保证推f[j]时f[j-v[i]]保存的是状态f[i -1][v-c[i]]的值。