CodeForces Round #951(Div. 2) 补题记录（A~E）

A

容易发现对于任意一个长度为 $n$，下标从 $1$ 开始的序列 $a$，若 $1\le l\le r<n$，则必然有 $\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{a}_i\le \underset{i=l}{\overset{r+1}{max}}{a}_i$。若 $1<l\le r\le n$，则必然有 $\underset{i=l}{\overset{r}{max}}{a}_i\le \underset{i=l-1}{\overset{r}{max}}{a}_i$。

很显然 Bob 希望自己选取的数的 $max$ 的值尽量的小。那么 Bob 一定会选择区间长度尽量小的区间。因为题目要求 $l<r$，所以最小的区间长度 $r-l+1=2$。

因此只需要枚举所有长度为 $2$ 的区间求最大值，然后将这个值减去 $1$ 就是答案。时间复杂度为 $O(n)$。

B

考虑打表猜结论。从低到高枚举 $x$ 和 $y$ 在二进制下每一位的值，设当前枚举到的是第 $i$ 位。若 $x$ 的第 $i$ 为位和 $y$ 的第 $i$ 位不同，那么答案就是 $2^i$。

因为 $x\ne y$，所以肯定至少存在一个 $i$ 使得 $x$ 的第 $i$ 位和 $y$ 的第 $i$ 位的值不同。

时间复杂度为 $O(\log n)$。

auto main() [[O3]] -> signed {
    // ios_base::sync_with_stdio(0);
    // cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        F(i, 0, inf) {
            if ((x >> i & 1) != (y >> i & 1)) {
                cout << (1ll << i) << '\n';
                break;
            }
        }
    }
}

C

又是猜结论题。设 $L=\mathrm{lcm}(k_1,k_2,k_3,\dots ,k_n)$ 的值。很显然有 $L\le \text{lcm}(2,3,5,7,11,13,17,19)\le {10}^7$。然后考虑给每一个位置分配 $\frac{L}{k_i}$ 的钱，最后 check 一下是否是满足条件的一组方案即可。

时间复杂度为 $O(n)$。

auto main() [[O3]] -> signed {
    // ios_base::sync_with_stdio(0);
    // cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        F(i, 1, n) cin >> a[i].x, a[i].id = i;
        // stable_sort(a + 1, a + n + 1, [&](auto l, auto r) {
        //     return l.x < r.x;
        // });
        int res = a[1].x;
        F(i, 2, n) res = ll(res, a[i].x);
        F(i, 1, n) b[i] = res / a[i].x;
        int s = accumulate(b + 1, b + n + 1, 0ll);
        bool ok = true;
        F(i, 1, n) {
            if (s >= b[i] * a[i].x) {
                ok = false;
                break;
            }
        }
        if (ok) {
            F(i, 1, n) {
                cout << b[i] << ' ';
            }
            cout << '\n';
        } else {
            cout << "-1\n";
        }
    }
}

D

首先考虑暴力求解。枚举每一个 $i$，然后暴力 check 一下是否符合条件。

考虑优化上面的暴力。首先观察得到上面的这个操作其实就是让字符串 $s$ 变为 $s_{p+1}{s}_{p+2}{s}_{p+3}\dots s_n{s}_p{s}_{p-1}{s}_{p-2}\dots s_2{s}_1$。

容易发现这个字符串其实可以被分割为 $s_{p+1}{s}_{p+2}{s}_{p+3}\dots s_n$ 和 $s_p{s}_{p-1}{s}_{p-2}\dots s_2{s}_1$ 两个部分。

然后再观察 $k$ -proper 的性质。

容易发现一个 $k$ -proper 其实只有两种不同的情况：

• $s_1=s_2=s_3=\dots =s_k=1,s_{k+1}=s_{k+2}=s_{k+3}=\dots =s_{2k}=0,s_{2k+1}=s_{2k+2}=s_{2k+3}=\dots =s_{3k}=1,s_{3k+1}=s_{3k+2}=s_{3k+3}=\dots =s_{4k}=0$，以此类推。令生成的这个字符串为 $S_1$。
• $s_1=s_2=s_3=\dots =s_k=0,s_{k+1}=s_{k+2}=s_{k+3}=\dots =s_{2k}=1,s_{2k+1}=s_{2k+2}=s_{2k+3}=\dots =s_{3k}=0,s_{3k+1}=s_{3k+2}=s_{3k+3}=\dots =s_{4k}=1$，以此类推。令生成的这个字符串为 $S_2$。

然后就可以去做这个题目啦。首先考虑字符串的前半部分 $s_{p+1}{s}_{p+2}{s}_{p+3}\dots s_n$。容易发现这个部分必须和 $S_1$ 或者 $S_2$ 的长度为 $n-p$ 的前缀完全相同。后半部分 $s_p{s}_{p-1}{s}_{p-2}\dots s_2{s}_1$ 的最长的长度为 $k$ 的倍数的后缀必须和 $S_1$ 或者 $S_2$ 等长的前缀完全相同。

此时还（可能）在第二个字符串前缀中剩下 $s_p{s}_{p-1}{s}_{p-2}\dots s_q$ 这样的一个字符串，容易发现这样的一个字符串的长度为 $p-q+1$。那么此时将这个字符串直接接到第一个字符串上去，判断这个字符串是否仍然和 $S_1$ 或者 $S_2$ 等长的前缀字符串完全相同。

容易发现 $S_1$ 和 $S_2$ 的长度取到 $n$ 就够了。但是问题是判断两个字符串匹配的时间复杂度仍然为 $O(n)$。因此考虑哈希判定（是显然的）。总的时间复杂度为 $O(n)$，注意要使用四哈希防止被卡。代码细节很多。

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define em emplace_back
#define F(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define G(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define W(G,i,x) for(auto&i:G[x])
#define W_(G,i,j,x) for(auto&[i,j]:G[x])
#define add(x,y) z[x].em(y)
#define add_(x,y) add(x,y),add(y,x)
#define Add(x,y,d) z[x].em(y,d)
#define Add_(x,y,z) Add(x,y,z),Add(y,x,z);
#ifdef int
#define inf (7611257611378358090ll/2)
#else
#define inf 0x3f3f3f3f
#endif
using namespace std;
int ll(int a, int b) {
    return a / __gcd(a, b) * b;
}
const int N = 400100;
int s1[N], s2[N];
struct Hash {
    int h1, h2, h3, h4;
    bool operator==(const Hash &r) const {
        return h1 == r.h1 && h2 == r.h2 && h3 == r.h3 && h4 == r.h4;
    }
} ;
const int m1 = 1e9 + 9, m2 = 998244353, m3 = 998244853, m4 = 19260817;
Hash hh1[N], hh2[N], hh3[N], hh4[N];
int bit1[N], bit2[N], bit3[N], bit4[N];
char ss[N], st[N];
Hash get(Hash *h, int l, int r) {
    int v1, v2, v3, v4;
    v1 = h[r].h1 - h[l - 1].h1 * bit1[r - l + 1] % m1, v1 %= m1; v1 += m1; v1 %= m1;
    v2 = h[r].h2 - h[l - 1].h2 * bit2[r - l + 1] % m2, v2 %= m2; v2 += m2; v2 %= m2;
    v3 = h[r].h3 - h[l - 1].h3 * bit3[r - l + 1] % m3, v3 %= m3; v3 += m3; v3 %= m3;
    v4 = h[r].h4 - h[l - 1].h4 * bit4[r - l + 1] % m4, v4 %= m4; v4 += m4; v4 %= m4;
    return {v1, v2, v3, v4};
}
signed main() {
    int T;
    cin >> T;
    bit1[0] = bit2[0] = bit3[0] = bit4[0] = 1;
    F(i, 1, N - 1) {
        bit1[i] = bit1[i - 1] * 131 % m1;
        bit2[i] = bit2[i - 1] * 1331 % m2;
        bit3[i] = bit3[i - 1] * 13331 % m3;
        bit4[i] = bit4[i - 1] * 133331 % m4;
    }
    while (T--) {
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        string s;
        cin >> s;
        s = ' ' + s;
        for (int i = 0; i <= n + 5; i++) {
            hh1[i].h1 = hh1[i].h2 = hh1[i].h3 = hh1[i].h4 = hh2[i].h1 = hh2[i].h2 = hh2[i].h3 = hh2[i].h4 = hh3[i].h1 = hh3[i].h2 = hh3[i].h3 = hh3[i].h4 = hh4[i].h1 = hh4[i].h2 = hh4[i].h3 = hh4[i].h4 = s1[i] = s2[i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if ((i - 1) % (2 * m) < m) {
                ss[i] = '1';
                st[i] = '0';
            } else {
                ss[i] = '0';
                st[i] = '1';
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            s1[i] = s1[i - 1];
            if (s[i] == '1') {
                s1[i]++;
            }
            hh1[i].h1 = hh1[i - 1].h1 * 131 + s[i]; hh1[i].h1 %= m1;
            hh1[i].h2 = hh1[i - 1].h2 * 1331 + s[i]; hh1[i].h2 %= m2;
            hh1[i].h3 = hh1[i - 1].h3 * 13331 + s[i]; hh1[i].h3 %= m3;
            hh1[i].h4 = hh1[i - 1].h4 * 133331 + s[i]; hh1[i].h4 %= m4;
        }
        for (int i = n; i; i--) {
            s2[i] = s2[i + 1];
            if (s[i] == '1') {
                s2[i]++;
            }
            hh2[n - i + 1].h1 = hh2[n - i + 1 - 1].h1 * 131 + s[i]; hh2[n - i + 1].h1 %= m1;
            hh2[n - i + 1].h2 = hh2[n - i + 1 - 1].h2 * 1331 + s[i]; hh2[n - i + 1].h2 %= m2;
            hh2[n - i + 1].h3 = hh2[n - i + 1 - 1].h3 * 13331 + s[i]; hh2[n - i + 1].h3 %= m3;
            hh2[n - i + 1].h4 = hh2[n - i + 1 - 1].h4 * 133331 + s[i]; hh2[n - i + 1].h4 %= m4;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            hh3[i].h1 = hh3[i - 1].h1 * 131 + ss[i]; hh3[i].h1 %= m1;
            hh3[i].h2 = hh3[i - 1].h2 * 1331 + ss[i]; hh3[i].h2 %= m2;
            hh3[i].h3 = hh3[i - 1].h3 * 13331 + ss[i]; hh3[i].h3 %= m3;
            hh3[i].h4 = hh3[i - 1].h4 * 133331 + ss[i]; hh3[i].h4 %= m4;
            hh4[i].h1 = hh4[i - 1].h1 * 131 + st[i]; hh4[i].h1 %= m1;
            hh4[i].h2 = hh4[i - 1].h2 * 1331 + st[i]; hh4[i].h2 %= m2;
            hh4[i].h3 = hh4[i - 1].h3 * 13331 + st[i]; hh4[i].h3 %= m3;
            hh4[i].h4 = hh4[i - 1].h4 * 133331 + st[i]; hh4[i].h4 %= m4;
        }
        int id = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i == n || s[i + 1] == '1') {
                int len = n - i;
                if (get(hh1, i + 1, n) == get(hh3, 1, len)) {
                    int remainlen = (m - len % m) % m;
                    if (remainlen && ss[len + 1] == '1' || !remainlen && ss[len + 1] == '0') {
                        if (s1[i] - s1[i - remainlen] == remainlen) {
                            if (get(hh2, n - (i - remainlen) + 1, n) == get(hh4, 1, i - remainlen)) {
                                id = i;
                                break;
                            }
                        }
                    } else {
                        if (s1[i] - s1[i - remainlen] == 0) {
                            if (get(hh2, n - (i - remainlen) + 1, n) == get(hh3, 1, i - remainlen)) {
                                id = i;
                                break;
                            }
                        }
                    }
                }
            } else {
                int len = n - i;
                if (get(hh1, i + 1, n) == get(hh4, 1, len)) {
                    int remainlen = (m - len % m) % m;
                    if (st[len] == '1') {
                        if (s1[i] - s1[i - remainlen] == remainlen) {
                            if (get(hh2, n - (i - remainlen) + 1, n) == get(hh4, 1, i - remainlen)) {
                                id = i;
                                break;
                            }
                        }
                    } else {
                        if (s1[i] - s1[i - remainlen] == 0) {
                            if (get(hh2, n - (i - remainlen) + 1, n) == get(hh3, 1, i - remainlen)) {
                                id = i;
                                break;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        cout << id << '\n';
    }
}

E

首先根据一场 ABC E 题的套路，将曼哈顿距离转化为切比雪夫距离：

• 若当前点的坐标为 $(x,y)$，则新的点的坐标为 $(x+y,x-y)$。

容易证明这样的转化是正确的。此时 $x$ 和 $y$ 互不影响。

于是问题就变成了：找出三个点的坐标 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，满足下面的两种情况之一：

• 有两对点的 $x$ 坐标的距离为 $d$，另外一对点的 $y$ 坐标的距离为 $d$。
• 有两对点的 $y$ 坐标的距离为 $d$，另外一对点的 $x$ 坐标的距离为 $d$。

此时必须要有两个点的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标的值相等。

考虑枚举相同的 $x$ 坐标，那么另外一个没有枚举的点的 $x$ 坐标的值必然为 $x-d$ 或者 $x+d$。

将所有的 $x$ 坐标全部存储到一个 set 里。查询的时候枚举 $x$ 坐标，判断 set 中是否存在 $x-d$ 或者 $x+d$ 即可。

$y$ 坐标同理。时间复杂度为 $O(n\log n)$。

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define em emplace_back
#define F(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define G(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define W(G,i,x) for(auto&i:G[x])
#define W_(G,i,j,x) for(auto&[i,j]:G[x])
#define add(x,y) z[x].em(y)
#define add_(x,y) add(x,y),add(y,x)
#define Add(x,y,d) z[x].em(y,d)
#define Add_(x,y,z) Add(x,y,z),Add(y,x,z);
#ifdef int
#define inf (7611257611378358090ll/2)
#else
#define inf 0x3f3f3f3f
#endif
using namespace std;
int ll(int a, int b) {
    return a / __gcd(a, b) * b;
}
const int N = 400100;
struct Point {
    int x, y;
} a[N];
void $() {
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    F(i, 1, n) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        a[i] = {x + y, x - y};
    }
    map<int, set<pair<int, int>>> mp;
    F(i, 1, n) {
        mp[a[i].x].insert({a[i].y, i});
    }
    for (auto &[x, se] : mp) {
        if (mp.count(x + d)) {
            for (auto &[y, id] : se) {
                auto it = se.lower_bound({y + d, 0ll});
                if (it != se.end() && it->first == y + d) {
                    auto it_ = mp[x + d].lower_bound({y, 0ll});
                    if (it_ != mp[x + d].end() && it_->first <= y + d) {
                        cout << id << ' ' << it->second << ' ' << it_->second << '\n';
                        return;
                    }
                }
            }
        }
        if (mp.count(x - d)) {
            for (auto &[y, id] : se) {
                auto it = se.lower_bound({y + d, 0ll});
                if (it != se.end() && it->first == y + d) {
                    auto it_ = mp[x - d].lower_bound({y, 0ll});
                    if (it_ != mp[x - d].end() && it_->first <= y + d) {
                        cout << id << ' ' << it->second << ' ' << it_->second << '\n';
                        return;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        swap(a[i].x, a[i].y);
    }
    mp.clear();
    F(i, 1, n) {
        mp[a[i].x].insert({a[i].y, i});
    }
    for (auto &[x, se] : mp) {
        if (mp.count(x + d)) {
            for (auto &[y, id] : se) {
                auto it = se.lower_bound({y + d, 0ll});
                if (it != se.end() && it->first == y + d) {
                    auto it_ = mp[x + d].lower_bound({y, 0ll});
                    if (it_ != mp[x + d].end() && it_->first <= y + d) {
                        cout << id << ' ' << it->second << ' ' << it_->second << '\n';
                        return;
                    }
                }
            }
        }
        if (mp.count(x - d)) {
            for (auto &[y, id] : se) {
                auto it = se.lower_bound({y + d, 0ll});
                if (it != se.end() && it->first == y + d) {
                    auto it_ = mp[x - d].lower_bound({y, 0ll});
                    if (it_ != mp[x - d].end() && it_->first <= y + d) {
                        cout << id << ' ' << it->second << ' ' << it_->second << '\n';
                        return;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << "0 0 0\n";
}
auto main() [[O3]] -> signed {
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        $();
    }
}