欧拉回路

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欧拉回路

如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)。
如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。————百度百科

欧拉通路：

• 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路

欧拉回路：

• 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路

有向图的基图

• 忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图
  具有欧拉回路的无向图 G 被称为欧拉图

定理

• 无向图存在欧拉通路的充要条件是：图联通，并且只有两个奇度节点或者无奇度节点
• 无向图存在欧拉回路的充要条件：不存在奇度节点
• 有向图存在欧拉通路的充要条件是：基图联通，并且所有的顶点的出度和入度相等，或者除两个顶点外的出度和入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度比入度大 1 ，一个顶点的出度比入度小 1
• 有向图存在欧拉回路的充要条件：基图联通，所有的顶点的出入度相同

欧拉路的构造

• 无向图为例
• 如果有奇度节点，那么起点就设成这个节点，否则就设成编号最小的节点
• 然后从起点开始搜索，然后按照一个逆序存到答案中

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int edge[1000][1000];
//为了方便优先访问编号小的节点，这里使用邻接矩阵来存边
//如果使用vector来存图，那还需要对每个节点连接的边进行排序
int ans[1000000];
int degree[1000];//用于储存每个点的度，以求起点
int p=0;
void dfs(int now)
{
    for(int i=1;i<=1000;i++)//顺序寻找可访问的边，优先找编号小的节点
    {
        if(edge[now][i])//若这条边尚未访问过
        {
            edge[now][i]--;//已访问过的边要删去，防止重复访问
            edge[i][now]--;//有向图的话请删去这一行
            dfs(i);
        }
    }
    ans[++p]=now;//将访问的节点储存进答案数组
    //由于递归的特性，这里储存的是逆序过程
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin>>n;//边的个数
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        edge[a][b]++;
        edge[b][a]++;//有向图的话删去这行
        degree[a]++,degree[b]++;//两个点的度都+1
    }
    int start=0;
    for(int i=1;i<=1000;i++)
    {
        if(degree[i]%2)//如果找到奇数点
        {
            start=i;//那这个奇数点就作为起点，由于顺序遍历，这个起点编号必定最小
            break;
        }
    }
    if(!start)//如果还没找到奇数点，说明是欧拉回路
    {
        for(int i=1;i<=1000;i++)
            if(degree[i])//寻找最小的有度的点即可
            {
                start=i;
                break;
            }
    }
    dfs(start);//dfs寻找欧拉路
    for(int i=p;i>=1;i--)
        cout<<ans[i];//输出给定的欧拉路
}