P7431[THUPC2017]小 L 的计算题题解

这道题有一个推式子之后分治 $N T T + L n + E x p$ 的做法，不过也有一个不用 $L n + E x p$ 的做法（理论常数要小点，实际差不多）。

题解：

这道题可以牛顿恒等式直接推出一个非常好写的东西。

首先看一下牛顿恒等式的描述：

对于 $n$ 次多项式 $A (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, a_{n} \neq 0$ ，设 $b_{i} = a_{n - i}$ ，其有 $n$ 个根 $x_{1}, x_{2} \dots x_{n}$ ，设 $S_{k} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{k}$ ，则有：

\forall t \in N^{*}, \sum_{i = 1}^{t} S_{i} b_{t - i} + t b_{t} = 0

那么这道题要求的东西可以很直接地套上去：

设 $C (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i})$ ，则 $C (x)$ 的根就是 $a_{i}$ ，设其 $i$ 次项系数为 $c_{i}$ ， $b_{i} = c_{n - i}$ ， $S_{k} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{k}$ 。则有：

\forall t \in N^{*}, \sum_{i = 1}^{t} S_{i} b_{t - i} = - t b_{t}

左边是一个卷积的形式，乘到右边就是多项式求逆，可以直接得到 $S$ 的生成函数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const
namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<22|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 
	}
	template<typename T>
	inline T get(){
		char c;T num;
		while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
	inline int gi(){return get<int>();}
}
using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){a+=b-mod;return a+(a>>31&mod);}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline int power(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));
	return res;
}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}

typedef std::vector<int> Poly;

cs int bit=19,SIZE=1<<bit|1;

int r[SIZE],*w[bit+1];
inline void init_NTT(){
	for(int re i=1;i<=bit;++i)w[i]=new int[1<<i-1];
	int wn=power(3,mod-1>>bit);w[bit][0]=1;
	for(int re i=1;i<(1<<bit-1);++i)w[bit][i]=mul(w[bit][i-1],wn);
	for(int re i=bit-1;i;--i)
	for(int re j=0;j<(1<<i-1);++j)w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
inline void NTT(int *A,int len,int typ){
	for(int re i=1;i<len;++i)if(i<r[i])std::swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int re i=1,d=1;i<len;i<<=1,++d)
	for(int re j=0;j<len;j+=i<<1)
	for(int re k=0;k<i;++k){
		int &t1=A[j+k],&t2=A[i+j+k],t=mul(t2,w[d][k]);
		t2=dec(t1,t),Inc(t1,t);
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+len);
		for(int re i=0,inv=power(len,mod-2);i<len;++i)Mul(A[i],inv);
	}
}
inline void NTT(Poly &A,int len,int typ){NTT(&A[0],len,typ);}
inline void init_rev(int l){
	for(int re i=1;i<l;++i)r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)?l>>1:0);
}

inline Poly operator*(cs Poly &a,cs Poly &b){
	int n=a.size(),m=b.size(),deg=n+m-1,l=1;
	static int A[SIZE],B[SIZE];
	while(l<deg)l<<=1;init_rev(l);
	memcpy(A,&a[0],sizeof(int)*n);
	memset(A+n,0,sizeof(int)*(l-n));
	memcpy(B,&b[0],sizeof(int)*m);
	memset(B+m,0,sizeof(int)*(l-m));
	NTT(A,l,1);NTT(B,l,1);
	for(int re i=0;i<l;++i)Mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,l,-1);return Poly(A,A+deg);
}

inline Poly Inv(cs Poly &a,int lim=-1){
	int n=a.size();if(lim==-1)lim=n;
	Poly c,b(1,power(a[0],mod-2));
	for(int re l=4;(l>>2)<lim;l<<=1){
		init_rev(l);
		c.resize(l>>1);for(int re i=0;i<(l>>1);++i)c[i]=i<n?a[i]:0;
		c.resize(l),NTT(c,l,1);
		b.resize(l),NTT(b,l,1);
		for(int re i=0;i<l;++i)Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
		NTT(b,l,-1);b.resize(l>>1);
	}b.resize(lim);
	return b;
}

int n;

inline Poly solve(int l,int r){
	if(l==r){
		Poly c;c.resize(2);
		c[1]=1;
		c[0]=dec(mod,gi());
		return c;
	}int mid=l+r>>1;
	return solve(l,mid)*solve(mid+1,r);
}

signed main(){
	init_NTT();int T=gi();
	while(T--){
		n=gi();
		Poly F=solve(1,n);
		std::reverse(F.begin(),F.end());
		Poly G;G.resize(n+1);
		for(int re i=0;i<=n;++i)G[i]=mul(F[i],mod-i);
		G=G*Inv(F);int ans=0;
		for(int re i=1;i<=n;++i)ans^=G[i];
		cout<<ans<<"\n";
	}
	return 0;
}//码风独特