题目大意

有编号为 $[L,R]$ 区间的点，连接两个点 $x,y$ 边权的为 $LCM(x,y)$，求这张图的最小生成树。

解题思路

我们有一个结论： 对于张图 $G$ 中的一个生成子图 $E$，$E$ 之中的一条边 $k$ 如果不在 $E$ 最小生成树中，那么 $k$ 肯定也不在 $G$ 的最小生成树中。

那么我们考虑找一些可能是答案的边出来跑最小生成树。

对于一个 $i$ 我们提取出所有它倍数的点，对于点 $ik$ 来说它肯定不会去连接某个 $i{k}^{\prime }$ 如果存在另一个更小的 $i{k}^{″}$ 的话，因为这条边显然不在这张图的最小生成树中。

所以我们可以对于一个点 $x$ 的每个约数 $d$，我们只连接一个最小的 $d\times k$，然后把这些边拿出来跑 $Kruskal$ 就好了。

时间复杂度：$O(n{\log }^{2}n)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{
	ll x,y,w;
}e[11000000];
ll L,R,ans,m,fa[1100000];
bool cmp(node x,node y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&L,&R);
	for(ll i=1;i<=R;i++){
		for(ll j=i;j<=R;j+=i){
			if(j>=L){
				ll p=(L+i-1)/i*i;
				if(p==j)continue;
				e[++m]=(node){j,p,j*p/i};
			}
		}
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(ll i=L;i<=R;i++)fa[i]=i;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x==y)continue;
		ans+=e[i].w;fa[x]=y;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}