调和平均 $\le$ 几何平均 $\le$ 算数平均 > $\le$ 平方平均
$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
$\sqrt{\frac{ab+\frac{1}{2}(a^2+b^2)}{2}}=\frac{1}{2}$

根式，是数学的基本概念之一，是一种含有开方(求方根)运算的代数式，即含有根号的表达式。按根指数是偶数还是奇数,根式分别称为偶次根式或奇次根式，零次根号几无意义。

根式的性质

运算法则

• 
• 
• 
• 
• ,其中
• 

最简根式的定义

当根式满足以下三个条件时，称为最简根式。

1. 被开方数的指数与根指数互质；
2. 被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式；
3. 被开方数中不含开得尽方的因数或因式。

根式有理化

在进行二次根式计算时，一般通过找有理化因式的方法化去分母中的根号，常用方法为凑出平方差公式，如：
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$
$\frac{k}{\sqrt{n}+\sqrt{n-k}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-k}$

例题

$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
= $\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
= $\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}$
= $\sqrt{5}-\sqrt{3}$