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数学笔记(1)-勾股定理与勾股数

勾股定理,是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股数组

勾股数组是满足勾股定理 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c),其中的a,b,c称为勾股数。例如 (3,4,5) 就是一组勾股数组。
任意一组勾股数 (a,b,c) 可以表示为如下形式:a=k(m2n2)b=2kmnc=k(m2+n2),其中 k,m,n 均为正整数,且 m>n

勾股定理

在一个直角三角形中,a2+b2=c2
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但是大家有没有想过,勾股定理在平行四边形中依然成立。

和是不是三角形无关,和是不是直角也无关。

先来个最简单的:

如图,在长方形中,设对角线长为c

则四条边的平方和=对角线的平方和:a2+b2+a2+b2=c2+c2

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再来个比较简单的:

如图,在以下菱形中,内角分别是 60°120°

则对角线长分别为 13

那么它也满足:四条边的平方和=对角线的平方和
12+12+12+12=12+32=4
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下面直接进入正题:

如图,一个平行四边形,设边长分别为ab,对角线分别为cd
那么,一定有:a2+b2+a2+b2=c2+d2
即:2a2+2b2=c2+d2
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本文作者:BadBadBad__AK

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