AcWing 520. 子串 题解(转载)

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算法

(线性DP,前缀和) \(O(nmk)\)

首先考虑如何DP，然后再考虑如何优化。

状态表示：f[i, j, k]表示只用S的前i个字母，选取了k段，可以匹配T的前j个字母的方案数。

状态计算：将f[i, j, k]表示的所有方案分成两大类：

1. 不用S[i]，则方案数是 f[i - 1, j, k]；
2. 使用S[i]，那么可以按S[i]所在的一段一共有多少字母继续分类：
   • 如果有t个字母，则方案数是f[i - t, j - t, k - 1]

所以f[i, j, k] = f[i - 1, j, k] + sum(f[i - t, j - t, k - 1])。
其中t只要满足S[i - t + 1] == T[j - t + 1]就可以一直往前枚举，因此最坏情况下的时间复杂度是 \(O(nm^2k)\)，会超时。

接下来考虑如何优化。

我们发现f[i, j, k]第二项的表达式和f[i - 1, j - 1, k]第二项的表达式很像，具有递推关系，因此可以令sum[i, j, k] = sum(f[i - t, j - t, k - 1])，则：

• 如果 S[i] == T[j]，那么 sum[i, j, k] = sum[i - 1, j - 1, k] + f[i - 1, j - 1, k - 1]；
• 如果 S[i] != T[j]，那么 sum[i, j, k] = 0；

至此，时间复杂度可以降至 \(O(nmk)\)。
但空间上需要 \(2nmk\) 的内存，总共需要 \(2 \times 1000 \times 200^2\) 个int，约 \(305\)MB，超过了内存限制。
因此需要对空间进行优化。

仔细观察转移方程，发现f[i, j, k]和sum[i, j, k]均只和第i - 1层有关，因此可以使用滚动数组，同时可以发现j和k只会从更小的值转移过来，因此可以使用类似于01背包问题优化空间的方式，从大到小枚举j, k，这样连滚动都可以省略了。

时间复杂度

状态总共有 \(nmk\) 个，每个状态需要常数次计算，因此总时间复杂度是 \(O(nmk)\)。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 210, mod = 1e9 + 7;

int n, m, K;
char a[N], b[M];
int f[M][M], sum[M][M];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
    scanf("%s%s", a + 1, b + 1);

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j; j -- )
            for (int k = K; k; k -- )
            {
                if (a[i] == b[j]) sum[j][k] = (sum[j - 1][k] + f[j - 1][k - 1]) % mod;
                else sum[j][k] = 0;
                f[j][k] = (f[j][k] + sum[j][k]) % mod;
            }

    printf("%d\n", f[m][K]);
    return 0;
}