P1541 [NOIP2010 提高组] 乌龟棋 题解

动规题。

动态规划分为3步：
1.定义数组元素含义。
2.找到数组元素之间的关系式。
3.找出初始值。

第一步

我们不难发现这道题可以现在dp数组中设一个数组dp[i]表示到了第i个格子所获得的最大分数。
再思考题目中给的4种卡牌。
我们可以发现，dp[i]可以由dp[i-1]+a[i],dp[i-2]+a[i],dp[i-3]+a[i],dp[i-4]+a[i]，也就是这四种卡牌移动的距离转移过来。
但是卡牌数量不是无限的，所以我们在转移过程中必须保证可用卡牌数量不为0。
比如dp[i-1]要求第一种卡牌数量不为0。

我们可以将卡牌使用的数量设为状态，我们可以得到dp[i][d1][d2][d3][d4]。
但是d1，d2，d3，d4最多都有40个，加上格子数最多350。相乘一下可以发现，空间会炸。
不过经过刚才设置的新数组，可以发现，i与d1，d2，d3，d4存在关系，可以由d1，d2，d3，d4计算出来当前到了第几格。
因此设计设计着，我们便舍弃（优化）掉了一个数组。

第二步

空间满足了，我们开始考虑动态转移方程。
首先统计出每一种卡牌的数量d1，d2，d3，d4，然后以该卡牌的数量为循环结束条件。
同时注意每种卡牌最少可以用0次，也就是不使用。

for(int w=0;w<=d1;w++){
  for(int k=0;k<=d2;k++){
    for(int i=0;i<=d3;i++){
      for(int j=0;j<=d4;j++){
        ···

然后列出状态转移方程。

if(w!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w-1][k][i][j]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
if(k!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w][k-1][i][j]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
if(i!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w][k][i-1][j]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
if(j!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w][k][i][j-1]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);

第三步

注意题面：“游戏中，乌龟棋子自动获得起点格子的分数”。

因此初始值就是dp[0][0][0][0]=a[1]。

答案存放在dp[d1][d2][d3][d4]中。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int rd(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
void wt(int x){if(x<0){x=-1;putchar('-');}if(x>9){wt(x/10);}putchar(x%10+'0');return;}
const int N=50,M=400;
int n,m,dp[N][N][N][N],a[M],b,d1,d2,d3,d4;
signed main(){
	n=rd(),m=rd();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=rd();
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		b=rd();
		if(b==1)d1++;
		else if(b==2)d2++;
		else if(b==3)d3++;
		else d4++;
	}
	dp[0][0][0][0]=a[1];
	for(int w=0;w<=d1;w++){
		for(int k=0;k<=d2;k++){
			for(int i=0;i<=d3;i++){
				for(int j=0;j<=d4;j++){
					if(w!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w-1][k][i][j]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
					if(k!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w][k-1][i][j]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
					if(i!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w][k][i-1][j]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
					if(j!=0)dp[w][k][i][j]=max(dp[w][k][i][j],dp[w][k][i][j-1]+a[w*1+k*2+i*3+j*4+1]);
				}
			}
		}
	}
	wt(dp[d1][d2][d3][d4]);
	return 0;
}

完结撒花★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。