学习笔记-级数
1.无穷级数到底在研究什么?
2.正项级数及根据定义判别正项级数是否收敛?
3.正项级数的比较判别法
级数是指将数列 的项
,
,…,
,…依次用加号连接起来的函数,是数项级数的简称。如:
![](https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D146/sign=124d72f5f036afc30a0c3b618519eb85/6f061d950a7b02086af600d465d9f2d3572cc8c3.jpg)
![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D40/sign=447d9587d658ccbf1fbcb43a18d801d5/4b90f603738da977ceb1ba1eb751f8198618e36d.jpg)
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D15/sign=7b94bf053df33a879a6d041fc75ccde6/c8177f3e6709c93dde6232c2983df8dcd1005476.jpg)
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![](https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D49/sign=41441535ee24b899da3c78316e068e3b/2fdda3cc7cd98d1068953304263fb80e7bec9045.jpg)
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![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D69/sign=6e1306f136adcbef05347d0fadafd7ee/fd039245d688d43f3925aec77a1ed21b0ef43b72.jpg)
若部分和存在则称为收敛函数。
发散的级数根本就没有求和的概念,因为是发散的,因此也不会遵守加法的结合律。
满足收敛的条件
极限值为0或者不存在。
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D15/sign=5bd1b117cffcc3ceb0c0cd36934560fb/10dfa9ec8a1363277e11ff06968fa0ec08fac702.jpg)
无穷级数研究的是数列极限存在与否的问题。
正项级数的通项Un是大于等于0的,这也就意味着:正项级数不是说每一项都必须是正的,某几项也可以等于0。
前n项和的极限是否存在,即研究当n取无穷时,LimSn这个极限是不是存在的?如果我们把Sn看成一个新的数列的话,这个数列的每一项是S1,S2,S3,….,Sn,因为你是各项为正,故单调递增,这就是正项级数的特点。
有关极限的存在准则有两个:一是单调有界数列必收敛;二是夹逼定理。而正项级数已经保证了单调递增,那么如果它是有上界的,就可以判断出这个正项级数是收敛的。
比较判断法(只适用于正项级数!):
如果0=<Un=<Vn
Vn收敛→Un收敛
Un发散→Vn发散
Vn收敛→Un收敛
Un发散→Vn发散
比较两个级数的通项趋于0速度的快与慢
lim(Un/Vn)=L
lim(Un/Vn)=L
L在0~1时,同时收敛或者同时发散
L=0时,Vn慢收敛→Un快收敛。(Vn变小速度慢,Un变小速度快)
L=0时,Vn慢收敛→Un快收敛。(Vn变小速度慢,Un变小速度快)
L=+∞时,Vn快发散→Un慢发散。(Vn)
级数本来是研究无穷多项加在一起,看你的和的极限存在不存在的,现在只需要将每个级数的“代表”:通项Un或者Vn拿出来就可以了,而一个级数是否收敛的必要条件是它的通项要趋于0,也就是说它这个通项一定是无穷小,因为你一直在累加求和,那么第n项肯定是无穷小量,不然越加越大成无穷了。
比较判别法的特点就是,我现在判断级数Un是否收敛,我需要找一个参照物(找别人),通过比较,得出自己是不是收敛的。那么参照物如何找,你只需要记住两个级数就可以了:等比级数和P级数!