学习笔记-级数

1.无穷级数到底在研究什么？

2.正项级数及根据定义判别正项级数是否收敛？

3.正项级数的比较判别法

级数是指将数列 的项 ， ，…，  ，…依次用加号连接起来的函数，是数项级数的简称。如：

  ，简写为 ， 称为级数的通项，记 称之为级数的部分和。如果当

  时 ，数列Sn有极限,极限为S，则说级数收敛，并以  为其和，记为 ；否则就说级数发散。
若部分和存在则称为收敛函数。
发散的级数根本就没有求和的概念，因为是发散的，因此也不会遵守加法的结合律。

满足收敛的条件  极限值为0或者不存在。

无穷级数研究的是数列极限存在与否的问题。

正项级数的通项Un是大于等于0的，这也就意味着：正项级数不是说每一项都必须是正的，某几项也可以等于0。
前n项和的极限是否存在，即研究当n取无穷时，LimSn这个极限是不是存在的？如果我们把Sn看成一个新的数列的话，这个数列的每一项是S1，S2，S3，….，Sn，因为你是各项为正，故单调递增，这就是正项级数的特点。
有关极限的存在准则有两个：一是单调有界数列必收敛；二是夹逼定理。而正项级数已经保证了单调递增，那么如果它是有上界的，就可以判断出这个正项级数是收敛的。

 

比较判断法（只适用于正项级数！）：

　　如果0=<Un=<Vn
　　Vn收敛→Un收敛
　　Un发散→Vn发散

比较两个级数的通项趋于0速度的快与慢
　　lim(Un/Vn)=L

L在0~1时，同时收敛或者同时发散
L=0时，Vn慢收敛→Un快收敛。（Vn变小速度慢，Un变小速度快）

L=+∞时，Vn快发散→Un慢发散。（Vn）

　　级数本来是研究无穷多项加在一起，看你的和的极限存在不存在的，现在只需要将每个级数的“代表”：通项Un或者Vn拿出来就可以了，而一个级数是否收敛的必要条件是它的通项要趋于0，也就是说它这个通项一定是无穷小，因为你一直在累加求和，那么第n项肯定是无穷小量，不然越加越大成无穷了。

　　因此，级数收敛的问题就转化为2个无穷小量的比较，就看你这两个无穷小量趋于0速度的快与慢。通过比较判别法的极限形式，我们知道，如果慢的收敛了，那么快的肯定是收敛的，如果快的都发散了，那么慢的肯定是发散的。
　　比较判别法的特点就是，我现在判断级数Un是否收敛，我需要找一个参照物（找别人），通过比较，得出自己是不是收敛的。那么参照物如何找，你只需要记住两个级数就可以了：等比级数和P级数！

 

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