P6189 [NOI Online 入门组]跑步
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题目描述
分析
这道题等价于将\(n\)划分为若干个正整数之和有多少种方案
显然运用完全背包可以解决这个问题,但完全背包的时间复杂度为\(O(n^2)\),而题目给定的\(n\leq10^5\)所以考虑进行优化,我们进行分块处理,将所有的数分为小于等于\(\sqrt{n}\)的和大于\(\sqrt n\)的,显然小于等于\(\sqrt n\)的部分可以用完全背包来处理,而大于\(\sqrt n\)的数显然不可能有多于\(\sqrt n\)个,所以设\(f_{i,j}\)表示\(i\)个大于\(\sqrt n\)的数和为\(j\)的方案数,那么有\(f_{i,j}=f_{i,j-\sqrt n}+f_{i,j-i}\)转移方程中第一项表示拆分序列中加上一个数,第二项表示所有数加1,这样就不会遗漏
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int dp1[N],dp2[1005][N];
int main()
{
int n,m,p;
scanf("%d%d",&n,&p);
m=sqrt(n)+1;
dp1[0]=1;
for(int i=1;i<m;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
dp1[j]+=dp1[j-i],dp1[j]%=p;
dp2[0][0]=1;
for(int i=1;i<m;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
{
dp2[i][j]=dp2[i][j-i];
if( j >= m ) dp2[i][j]+=dp2[i-1][j-m];
dp2[i][j]%=p;
}
int ans = 0;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
long long sum = 0;
for(int j=0;j<m;j++) sum+=dp2[j][n-i];
sum%=p;
ans=(ans+dp1[i]*sum)%p;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}