P6186 [NOI Online 提高组]冒泡排序

P6186 [NOI Online 提高组]冒泡排序

题目描述

分析

对于这道题，我们可以先求出原序列中的逆序对数量，然后执行两个操作

为了方便进行操作，我们先将原序列离散化到1~n，然后维护一个数组con[i]表示序列的第i个数前有con[i]个数比它大，那么逆序对数量cnt=\(\sum\limits_{i=1}^ncon[i]\)

对于第一个操作，判断交换的两个数的大小关系，然后改变cnt和con[i]即可

对于第二个操作，由引理1可得：k轮冒泡排序后减少的逆序对数量是\(\sum\limits_{con[i]\leq k}con[i]+\sum\limits_{con[i]>k}k\)分别维护两个树状数组即可

引理1

在一个序列进行一轮冒泡排序之后，\(con[i]=max(con[i+1]-1,0)\)，特别的\(con[n]=max(con[1]-1,0)\)

证明：

第k轮冒泡排序时，对于序列中第i个数\((i\in[2,k-2])\)，要么置换到\(i-1\)的位置，要么置换到\(i+1\)的位置，前者有con[i-1]=con[i]-1，后者有con[i]=con[i+1]-1

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=1e6+5;
struct Node
{
	ll val,id;
}a[N];
struct node
{
	ll x,y;
}que[N];
ll n,m,c[4*N],sq[N],con[N],cnt,c1[N],c2[N];

bool cmp(Node x,Node y)
{
	return x.val < y.val;
}

ll lowbit(ll x)
{
	return x & (-x);
}

void add(ll x,ll val,ll c[N])
{
	if( x==0 ) x=1;
	while( x <= n )
	{
		c[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
	return;
}

ll sum(ll x,ll c[N])
{
	ll tem=0;
	while( x )
	{
		tem+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return tem;
}

void Input()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i].val),a[i].id=i;
	for(ll i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&que[i].x,&que[i].y);
	return;
}

void Prepare()
{
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for(ll i=1;i<=n;i++) sq[a[i].id]=i;
	for(ll i=1;i<=n;i++) add(sq[i],1,c1),con[i]=i-sum(sq[i],c1),cnt+=con[i];
	return;
}

void deal1(ll id)
{
	add(con[id],-1,c1); add(con[id],-con[id],c2);
	add(con[id+1],-1,c1); add(con[id+1],-con[id+1],c2);
	if( sq[id] < sq[id+1] ) con[id]++,cnt++;
	else con[id+1]--,cnt--;
	swap(con[id],con[id+1]);
	swap(sq[id],sq[id+1]);
	add(con[id],1,c1); add(con[id],con[id],c2);
	add(con[id+1],1,c1); add(con[id+1],con[id+1],c2);
	return;
}

void deal2(ll k)
{
	ll tem;
	if( k >= n ) k=n-1;
	tem=sum(k,c2);
	tem+=k*(n-sum(k,c1));
	printf("%lld\n",cnt-tem);
	return;
}

void work()
{
	memset(c1,0,sizeof(c1));
	for(ll i=1;i<=n;i++) add(con[i],1,c1),add(con[i],con[i],c2);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
	{
		if( que[i].x==1 ) deal1(que[i].y);
		else deal2(que[i].y);
	}
	return;
}

int main()
{
	Input();
	Prepare();
	work();
	return 0;
}