Steinitz 替换定理

在 OI 中貌似没啥用，在高代中除了证明一些定理外也没啥用。

先来一个弱的定理，考虑线性空间 $V$ 中，$S=\{u_1,u_2,\dots ,u_m\}$ 是一个线性无关组，$T=\{v_1,v_2\dots ,v_n\}$ 是一个可以张成 $V$ 的向量组（称其为生成集），满足 $m\le n$，则有一种方式将 $T$ 中的任意 $m$ 个向量替换成 $S$，得到的新向量组 $T^{\prime }$ 仍为 $V$ 的生成集。

对其归纳证明，$m=1$ 时考虑 $u_1=\sum a_i{v}_i$，找到 $a_i\ne 0$ 的 $v_i$，将 $v_i$ 替换成 $u_1$ 即可，此时 $v_i$ 可以被 $T^{\prime }$ 线性表出，根据 $u_1=\sum a_i{v}_i$ 解方程即可。

若 $k=m-1$ 时成立，考虑向量组 $S^{\prime }=\{u_1,u_2,\dots ,u_{m-1}\}$，将 $T$ 中的 $k$ 个向量替换成 $S^{\prime }$，不妨设新的向量组为 $T^{\ast }=\{u_1,u_2,\dots ,u_k,v_{k+1},\dots ,v_n\}$，考虑其线性表出 $u_m$ 的方式 $u_m=\sum a_i{v}_i$，由于原向量组线性无关，因此必然存在 $i>k$ 使得 $a_i\ne 0$，将 $v_i$ 替换成 $u_m$ 即可，生成性的保留同上，$v_i$ 可以被新向量组线性表出，同样解方程即可。

这个弱的定理和原定理的唯一差别就是原定理还说明，当 $m>n$ 时，不存在大小为 $m$ 的线性无关组。这可以简单说明，任取 $S$ 的一个大小为 $n$ 的子集 $S^{\prime }$，根据上文 $S^{\prime }$ 可以张成 $V$，因此 $S$ 不可能线性无关。

给出定理的完整内容，以下定义建立在线性空间 $V$ 上，设 $T=\{v_1,\dots ,v_n\}$ 是一个生成集：

• 任意线性无关组的大小不会超过 $n$。

• 对于一个大小为 $m$ 的线性无关组 $S$，存在将 $T$ 的 $m$ 个向量替换成 $S$ 的方法使得新向量组为一个生成集。