关于 cxy 论文中一个结论的证明

cxy 在 4.1 节中不加证明地给出结论，对于长度为 $2^m$ 的点值序列 $a$，连续做两次 FWT 后得到的结果是 $a$ 的每一项都乘上 $2^m$，我们给出这个结论的证明。

首先回顾 FWT 的定义:$\widehat{a_i}=\sum _{j=0}^{2^m-1}(-1{)}^{i\circ j}{a}_j$，其中 $i\circ j$ 为两个向量的标准内积，等于 $\mathrm{popcnt}(i\mathrm{\&}j)mod2$。

写出做两次 FWT 后得到的式子：

$$\widehat{\hat{a_i}}=\sum _{j=0}^{2^m-1}(-1{)}^{i\circ j}\sum _{k=0}^{2^m-1}(-1{)}^{j\circ k}{a}_k$$

经典套路是交换两项，得到：

$$\widehat{\hat{a_i}}=\sum _{k=0}^{2^m-1}{a}_k\times \sum _{j=0}^{2^m-1}(-1{)}^{i\circ j+k\circ j}$$

不难发现标准内积的运算中模 $2$ 是无关紧要的（因为底数是 $-1$），所以将其展开：

$$\widehat{\hat{a_i}}=\sum _{k=0}^{2^m-1}{a}_k\times \sum _{j=0}^{2^m-1}(-1{)}^{\mathrm{popcnt}(i\mathrm{\&}j)+\mathrm{popcnt}(k\mathrm{\&}j)}$$

说明当 $\mathrm{popcnt}(i\mathrm{\&}j)$ 和 $\mathrm{popcnt}(k\mathrm{\&}j)$ 奇偶性相同时系数为 $1$，否则为 $-1$。若对于某一位，$i$ 和 $k$ 在这位上取值相同，此时 $j$ 在该位的取值是不重要的，我们只关心取值不同的位上取什么，即只考察 $i\oplus k$。由经典组合数学，得到：

$$coef=2^{m-\mathrm{popcnt}(i\oplus k)}\sum _{p=0}^{\mathrm{popcnt}(i\oplus k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{popcnt}(i\oplus k)}{p})(-1{)}^p$$

前面的系数代表那些位可以任填。后面则是枚举 $\mathrm{popcnt}((i\oplus k)\mathrm{\&}j)$ 中有几个 $1$，这个式子在子集反演中十分经典，在后面配上 $1^{\mathrm{popcnt}(i\oplus k)-p}$ 后由二项式定理得到：

$$coef=2^{m-\mathrm{popcnt}(i\oplus k)}(1-1{)}^{\mathrm{popcnt}(i\oplus k)}=[i=k]\times 2^m$$

回到 FWT 的式子，可以发现当 $i=k$ 时会产生 $2^m\times a_i$ 的贡献，否则贡献为 $0$。

Q.E.D.