Relation&Group&Permutation&Ring&Linear Algebra

主要是进行一些概念的复习。

参考资料：浅谈置换群计数。

Relation

称若干个元素构成集合，当且仅当满足不重、无序。记 $a\in A$ 代表 $a$ 存在于集合 $A$ 中，$a\notin A$ 代表 $a$ 不存在于集合 $A$ 中。

定义集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积为 $\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$，记作 $A\times B$。

对于集合 $A\times A$ 的每一个子集 $R$，称 $R$ 为 $A$ 上的一个关系。若 $a\in A,b\in B,(a,b)\in R$，则称 $a$ 和 $b$ 有关系 $R$（不可交换），记作 $aRb$。

equivalence relation

称 $R\in A\times A$ 为等价关系，当且仅当：

1. 自反性，$\mathrm{\forall }a\in A$，$aRa$。

2. 对称性，$\mathrm{\forall }a,b\in A$，$aRb\to bRa$。

3. 传递性，$\mathrm{\forall }a,b,c\in A$，$aRb,bRc\to aRc$。

将这种关系 $R$ 记作 $\sim$。

equivalence class

对于 $A$ 上的等价关系 $\sim$，$\mathrm{\forall }a\in A$，将 $[a]$ 记作 $a$ 所在等价类构成的集合，即：

$$[a]=\{b|b\in A,a\sim b\}$$

对于等价关系 $\sim$，显然 $a\in A$ 不可能在多个等价类里，将所有等价类中取出一个元素，组成的集合称作 $A$ 的完全代表系。同时 $\sim$ 给出了 $A$ 上的一个划分。

Group

对于集合 $G$，称 $G$ 上的二元运算 $\ast$ 是一个函数 $\ast (G,G)\to G$。

$\ast$ 本身没有任何强制的要求。

• 若 $\mathrm{\forall }a,b\in G$，$a\ast b=b\ast a$，则称 $\ast$ 具有交换律，结合律类似。

• 若对于 $H\in G$，$\mathrm{\forall }a,b\in H$，$a\ast b\in H$，则称 $H$ 在 $\ast$ 下封闭。

对于集合 $G$，及我们规定在其上的二元运算 $\ast$（这说明了 $G$ 在 $\ast$ 下封闭），若满足以下性质：

1. 结合律。

2. 存在单位元 $e$：$e\ast a=a\ast e=a$。

3. 存在逆元。

则 $(G,\ast )$ 称作群。$G$ 的大小称为群的阶，上述三条作为群公理，群公理 $2$ 保证了 $G$ 非空。若 $G$ 是有限集，则 $(G,\ast )$ 为有限群。

由群公理，能得到一个群的单位元唯一，考虑若存在两个单位元 $e_1$ 和 $e_2$，则 $e_1=e_2$，代数结构下将两者视为同一个元素。

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对于群 $(G,\ast )$，若 $\ast$ 存在交换律，则称该群为阿贝尔群。

以下的 $\ast$ 和 $+$ 均不代表数学乘法/加法，而是两种定义在 $G$ 上的运算，按照习惯，将 $\ast$ 的单位元写作 $1$，逆元写作 $a^{-1}$，$+$ 的单位元写作 $0$，逆元写作 $-a$，其余 $a^x,ax$ 等均遵习惯。

Group Calc

群 $G$ 和群 $H$ 的直积定义为 $(G,{\times }_G)(H,{\times }_H)\to ((G\times H),\times )$，其中 $\times :(g_1,h_1)\times (g_2,h_2)\to (g_1{\times }_G{g}_2,h_1{\times }_H{h}_2)$，两个群在新群的运算下仍然存在一定的封闭性。

Abel Theorem

有限生成阿贝尔群基本定理。

令 $C_i$ 代表 $i$ 阶循环群，定理断言，有限生成的阿贝尔群 $G$ 必然可以分解为有限个循环群的直积，具体形式为：

$$G=C_{\mathrm{\infty }}^r\times C_{n_1}\times C_{n_2}\times \cdots \times C_{n_s}$$

其中 $r$ 唯一确定，为 $|G|$。对于 $n_i$ 的刻画，存在两种形式：

1. 选取 $n_1\ge 2$，$n_1|n_2|n_3|\dots |n_s$，此时 $n_i$ 唯一确定，称为 $G$ 的不变因子。

2. 选取 $n_i$ 为互不相同的素数幂（算术基本定理下的 $p_i^{k_i}$），此时 $n_i$ 同样唯一确定，称为 $G$ 的初等因子。

定理证明较为复杂，依赖 $(n,m)=1\to C_{nm}\cong C_n{C}_m$ 这一事实，略去。通过有限生成阿贝尔群基本定理，可以得到很多引理。

Homomorphisms and Isomorphisms

对于两个群 $(G,\ast )$ 和 $(H,+)$，若存在映射 $\phi :G\to H$，满足：

$$\phi (xy)=\phi (x)+\phi (y)$$

则称两个群同态。群同态并不一定是单射，考虑三阶群 $(\{e,x,x^{-1}\},\ast )$ 和一阶群 $(\{e\},+)$，两个群同态，但并非单射。若两个群同态的关系为单射，则说明 $G$ 和 $H$ 的某个子群同构。

若映射 $\phi$ 还是双射，则称两个群同构。同构的群具有完全相同的性质，因此同构的群只需研究一个即可。表示同构的符号为 $\cong$。

Group Actions

对于群 $(G,\ast )$ 和集合 $A$，称映射 $G\times A\to A$ 是 $G$ 在集合 $A$ 上的群作用，当且仅当：

• 满足结合律。

• 单位元保持元素不动，即 $a\in A$，$1a=a$。

此处无二元运算存在，$G\times A$ 指两集合的笛卡尔积。

subgroup、coset

对于群 $(G,\ast )$，称 $H$ 是其子群，当且仅当：

• $H$ 是 $G$ 的子集。

• $(H,\ast )$ 成群。

记作 $H\le G$。

对于 $x\in G$，记 $xH$ 为 $H$ 的一个左陪集，其中 $xH=\{xh|h\in H\}$，右陪集类似，显然 $H$ 是自身的左右陪集。

对于群 $G$ 及其子群 $H$，对 $x,y\in G$ 定义关系 $x\sim y$，当且仅当 $x\in yH$，这是一个等价关系，请自行尝试证明。

由于这是等价关系，因此若 $xH$ 和 $yH$ 的交非空，则 $xH=yH$。同时可以根据该等价关系划分等价类，此之谓陪集分解。

注意对于陪集 $xH$ 总有 $x\in xH$，因为 $(H,\ast )$ 为群，必然有 $e\in H$。

Lagrange’s Theorem

上文中已经体现出陪集一些优美的性质，简单归纳：

对于 $y\in xH$，$xH=yH$。

进一步强化该性质，我们有 $|H|=|gH|$。由群的消去律，得到 $a\ne b\to ga\ne gb$，该性质自然得到。因此这启示我们群 $G$ 对 $H$ 的所有陪集大小相等，都为 $|H|$。设 $R$ 为对于 $H$，关系 $x\sim y$ 的完全代表系，则 $|G|=|R|\times |H|$。

称 $|R|$ 为群 $H$ 对于群 $G$ 的指数 $[G:H]$，则得到拉格朗日定理：

$$|G|=[G:H]\times |H|$$

Permutation

一个集合的置换是映射到自身的双射。对于 $n$ 阶排列，将其一个置换记作 $\sigma (1),sigma(2),\dots ,sigma(n)$。置换可以复合，置换 $f$ 和 $g$ 的复合记作 $fg$。

研究置换 $\sigma (i)$ 的性质，在 OI 中，我们熟知的是置换将排列分成若干个置换环，即 $1\to \sigma (1)\to {\sigma }^2(1)\to \dots$。因此我们可以用置换环的形式来表示一个置换，称作轮换表示法。

显然，任意置换的不交轮换分解是唯一的，存在构造性证明。

${\sigma }^t$

考虑置换 $f=(\sigma (1),\sigma (2),\dots ,\sigma (n))$，尝试求其幂置换 $({\sigma }^t(1),{\sigma }^t(2),\dots ,{\sigma }^t(n))$，${\sigma }^t(i)={\sigma }^{t-1}(i)$。

由于置换可以分解为若干不交轮换，对轮换求幂置换即可。考虑轮换 $(\sigma (a_0),\sigma (a_1),\dots ,\sigma (a_{n-1}))$，显然 ${\sigma }^t(a_i)=\sigma (a_{(i+t)modn}$，考虑此时求其轮换，即找到一个最小的正整数 $k$ 使得 ${\sigma }^{tk}(a_i)=a_i$。不难得到：

$$i+tk\equiv i(\mathrm{mod}n)$$

$$tk\equiv 0(\mathrm{mod}n)$$

利用同余代数的知识，得到 $k=\frac{n}{gcd(n,t)}$。这说明，${\sigma }^t$ 可以分解为 $gcd(n,t)$ 个长度为 $\frac{n}{gcd(n,t)}$ 的轮换，同时 $a_i$ 所在轮换的第 $j$ 个元素为 $a_{(i+jt)modn}$，根据 $i+jt\equiv i(\mathrm{mod}t)$ 和 $(n,t)|t$，得到 $i+jt\equiv i(\mathrm{mod}()n,t)$，因此轮换内所有元素下标在模 $(n,t)$ 意义下相同。

symmetric group

将置换复合运算记为 $\circ$，则所有 $n$ 阶置换和 $\circ$ 成群。单位元为恒等置换。称该群为 $n$ 阶对称群，记为 $S_n$。

Caylay Theorem

群 $G$ 同构于某一对称群。更具体地，设 $n=|G|$，则 $G$ 同构于 $S_n$ 的某个子群。

Oribt-Stabilizer Theorem

考虑一个群 $G$，和一个集合 $M$，进一步研究 $G$ 对 $M$ 的作用 $\circ$。

称集合 $M$ 的子集 ${\mathrm{orb}}_G(x)=\{\sigma \circ x|\sigma \in G\}$ 为 $x$ 在 $G$ 作用下的轨道。我们有等价关系 $\sim$：

$$x\in {\mathrm{orb}}_G(y)$$

尝试证明这是一个等价关系。

1. 自反性。根据群对集合作用的定义，$1x=x$，因此具有自反性。

2. 对称性。考虑存在 $\sigma \in G$，使得 $\sigma \circ y=x$，由结合律，${\sigma }^{-1}\circ x=y$，因此具有对称性。

3. 传递性。考虑 ${\sigma }_1\circ y=x$，${\sigma }_2\circ z=y$，取 ${\sigma }_3={\sigma }_1{\sigma }_2$ 即可构造出传递性。

对其套用等价关系的理论，能得到一系列简单的结论，实际上，$|{\mathrm{orb}}_G(x)|$ 就是在只考虑 $x$ 时，$G$ 中本质不同的元素数。

$x$ 在群 $G$ 的某些元素作用下可能保持不变，我们将 $G$ 的子集 ${\mathrm{stab}}_G(x)=\{\sigma |\sigma \in G,\sigma \circ x=x\}$ 称作 $x$ 在群 $G$ 作用下的稳定子。不难验证 ${\mathrm{stab}}_G(x)\le G$。

1. 封闭性。根据群对集合作用的结合律不难得到。

2. 结合律。显然具有结合律。

3. 单位元。$G$ 的单位元 $e$ 满足 $e\in {\mathrm{stab}}_G(x)$。

4. 逆元。

在之前的陪集划分中，我们得到了拉格朗日定理等良好的性质，现在我们想对稳定子这个子群做类似的陪集划分。

根据拉格朗日定理，$|G|=|{\mathrm{stab}}_G(x)|\times [G:{\mathrm{stab}}_G(x)]$，后者就是本质不同的陪集种数，这等价于 $x$ 在 $G$ 作用下本质不同的元素数，因此得到轨道-稳定子定理：

$$[G:{\mathrm{stab}}_G(x)]=|{\mathrm{orb}}_G(x)|$$

考虑严谨地证明这一定理。

取出 $G$ 中对 ${\mathrm{stab}}_G(x)$ 左陪集的完全代表元系 $R$，有 $|R|=[G:{\mathrm{stab}}_G(x)]$，构造映射 $\phi :{\mathrm{orb}}_G(x)\to R$，$gx\to g{\mathrm{stab}}_G(x)$，也就是将 $x$ 轨道中的每个元素映射到该元素和 $x$ 稳定子的左陪集。可以证明 $\phi$ 为双射。

根据轨道-稳定子定理，不难得到 $|G|=|{\mathrm{orb}}_G(x)|\times |{\mathrm{stab}}_G(x)|$。

Burnside

上面提到轨道是等价类，而 Burnside 引理给出了求等价类数量 |M/G| 的方法，我们记 ${\mathrm{fix}}_G(\sigma )=\{x|\sigma \circ x=x\}$ 作为 $\sigma$ 的不动元，有：

$$\sum |{\mathrm{fix}}_G(\sigma )|=\sum |{\mathrm{stab}}_G(x)|$$

与此同时，我们还有 $|M/G|=\sum \frac{1}{{\mathrm{orb}}_G(x)}$，根据轨道-稳定子定理得到 $|M/G|=\sum \frac{{\mathrm{stab}}_G(x)}{|G|}$，进而可以得到 Burnside 引理：

$$|M/G|=\frac{1}{|G|}\sum |{\mathrm{fix}}_G(\sigma )|$$

在算法竞赛中可以由此得到 Polya 计数法。

Ring

环是一个形如 $(R,+,\ast )$ 的代数结构，要满足：

1. $(R,+)$ 是阿贝尔群。

2. $\ast$ 有结合律。

3. 存在分配律。

4. 若 $\ast$ 交换，则称为交换环。

5. 单位元定义在 $\ast$ 上，可能不存在。

若 $(R,\ast )$ 成群，则 $(R,+,\ast )$ 称为除环，若 $(R,\ast )$ 为阿贝尔群，则为域。

Linear Algebra

线性空间是一个 $(V,+,\ast ,P)$ 的代数结构。