反演题乱做

子集反演：

$$f_S=\sum _{T\in S}{g}_T$$

$$g_S=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|S|-|T|}{f}_S$$

$f$ 和 $g$ 均为集合到实数的函数。

证明：

$$g_S=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|S|-|T|}\sum _{O\in T}{g}_O$$

$$g_S=\sum _{O\in S}{g}_O\sum _{T\in S/O}(-1{)}^{|T|}$$

定义函数 $sgn(S)=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|S|}$，包含空集。

$$sgn(S)=\sum _{i=0}^{|S|}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|S|}{i})(-1{)}^i{1}^{|S|-i}=0^{|S|}=[|S|=0]$$

因此：

$$g_S=\sum _{O\in S}{g}_O\times [O=S]=g_S$$

考虑给出了 $f$，如何快速求 $g$。

首先回顾一下高维前缀和。这里钦定每一维的大小为 $2$，按照维度做前缀和即可。这样知道 $g$ 后求 $f$ 是十分容易的。

知道 $f$ 求 $g$ 和知道 $g$ 求 $f$ 的区别不大，维护两个前缀和，分别钦定子集大小为奇数/偶数的时候系数为 $1$ 或 $-1$ 即可。

min-max 容斥：

$$max(S)=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|T|+1}min(T)$$

证明：

不妨枚举最小值，产生的贡献形如 $x\times \sum _{i=0}^y(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{i})(-1{)}^{i+1}$，分析后面的贡献，不难类似前面 $sgn(S)$ 函数，得到产生贡献当且仅当 $y=0$。

扩展：

$$kthmax(S)=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|T|-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})min(T)$$

证明小于第 $k$ 大的数不会产生贡献：

$$x\times \sum _{i=0}^y(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})$$

随便提一下就能发现没有贡献。

二项式反演：

$$f(n)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})g(i)$$

$$g(n)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-1{)}^{n-i}f(i)$$

证明：

存在容斥意义上的组合证明 。

$$g(n)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-1{)}^{n-i}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})g(j)$$

$$g(n)=\sum _{i=0}^{n}g(i)\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})(-1{)}^{n-j}$$

$$g(n)=\sum _{i=0}^{n}g(i)\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j-i})(-1{)}^{n-j}$$

$$g(n)=\sum _{i=0}^{n}g(i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-1{)}^n\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j-i})(-1{)}^j$$

单独研究后面的部分 $\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j-i})(-1{)}^j=\sum _{j=0}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j})(-1{)}^{i+j}$，根据上面的 $sgn(S)$，该式为 $(-1{)}^i\times [n=i]$。

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二项式反演、子集反演、min-max 容斥都是利用构造一些易于求解的函数来解决问题。