ABC298Ex(2)

多次询问 $L,R$，求 $\sum _{i}min(d(i,L),d(i,R))$。

不失一般性的令 $de{p}_L\ge de{p}_R$。

考虑 $i$ 到 $L/R$ 的路径是怎样的。一定是 $i$ 到 $L\to$ 上的某一点 $x$ 再到 $L/R$。

如果按照每个点到达 $L/R$ 对其进行染色，则每种颜色都只有一个联通块，换句话说，颜色是树的一个划分。

考虑 $L\to R$ 路径上的染色情况，一定有一个阈值 $m$，满足路径上到 $L$ 距离不超过 $m$ 的点到达 $L$，其余到达 $R$。利用倍增求出 $L$ 的树上 $m$ 级祖先 $x$，设 $\mathrm{lca}(L,R)=k$，则 $x$ 必然位于 $L\to k$ 的路径上（保证了 $de{p}_L\ge de{p}_R$）。不难发现所有位于 $x$ 子树内的点都会走到 $L$，其余都会走到 $R$。

但是如果 $x=k$，由于 $R$ 也在 $x$ 的子树中，因此会出错。但是此时当且仅当 $d(L,x)=d(x,R)$，我们选择 $L\to R$ 路径上 $x$ 的前一个点，即 $L$ 的 $m-1$ 级祖先即可。

因此答案就是 $\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(i,L)+\sum _{i\notin {\text{subtree}}_x}d(i,R)$。

$i\notin {\text{subtree}}_x$ 并不好处理，将答案改写为 $\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(i,L)+\sum _{i}d(i,R)-\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(i,R)$。

此时式子已经相较于一开始变得更好处理，只需要求出一棵子树的所有点到子树内某点的距离和即可。即 $\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(1,i)+d(1,p)-2\times d(1,\mathrm{lca}(i,p))$。

$\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(1,i)+d(1,p)$ 是好求的，考虑怎么求 $\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(1,\mathrm{lca}(i,p))$。

对 $\mathrm{lca}(i,p)$ 拆贡献。设 $p\to x$ 经过的点为 $\{{\alpha }_z\}$。则为 $\sum _{1\le j\le z}d(1,{\alpha }_j)\times (s_{{\alpha }_j}-s_{{\alpha }_{j-1}})$。

其中 $s_i$ 代表 $i$ 的子树大小，$s_{{\alpha }_0}=0$。

充分发挥人类智慧，改写为 $s_{{\alpha }_z}\times d(1,{\alpha }_z)+\sum _{1\le i<z}{s}_{{\alpha }_i}\times (d(1,{\alpha }_i)-d(1,{\alpha }_{i+1}))$。

发现路径上的点满足 ${\alpha }_i=f{a}_{{\alpha }_{i-1}}$，且 ${\alpha }_z=x$。因此得到 $s_x\times d(1,x)+\sum _{1\le i<z}{s}_{{\alpha }_i}$。维护 $t_i=\sum _{1\to i}{s}_i$，则得到 $s_x\times d(1,x)+t_p-t_x$。

注意，如果 $p$ 在 $x$ 的子树外，则应该加上 $d(p,x)\times s_x$。

如果令 $f(x,p)$ 代表上面所写的 $\sum _{i\in {\text{subtree}}_x}d(i,p)$。则答案为 $f(x,L)+f(1,R)-f(x,R)$。

时间复杂度 $O(q\log n)$，瓶颈在于倍增求树上 $k$ 级祖先。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define debug(...) fprintf(stderr,##__VA_ARGS__)
 
bool Mbe;
 
const int inf=1e18;
 
const int maxn=2e5+10;
 
std::vector<int>a[maxn];
 
int t[maxn],dep[maxn],s[maxn],f[maxn][20],lg[maxn],n,q,h[maxn];
 
template<typename T,typename I>
void chkmin(T &a,I b){
	a=std::min(a,b);
}
 
template<typename T,typename I>
void chkmax(T &a,I b){
	a=std::max(a,b);
} 
 
namespace ST{
	void dfs(int p,int fa){
		f[p][0]=fa,dep[p]=dep[fa]+1;
		s[p]=1;
		h[p]=dep[p];
		for(int i:a[p]){
			if(i==fa) continue;
			dfs(i,p);
			s[p]+=s[i];
			h[p]+=h[i];
		}
//		t[p]=t[fa]+s[p];
	}
	void dfs2(int p,int fa){
		t[p]=t[fa]+s[p];
		for(int i:a[p]){
			if(i==fa) continue;
			dfs2(i,p);
		}
	}
	void init(int rt){
		dfs(rt,rt);
		dfs2(rt,rt);
		lg[0]=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
		for(int j=1;j<20;j++)
			for(int i=1;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	}
	int kth(int p,int k){
		for(int i=19;i>=0;i--)
			if(k>=(1ll<<i)) k-=(1ll<<i),p=f[p][i];
		return p;
	}
	int lca(int x,int y){
		if(dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y);
		for(int i=19;i>=0;i--)
			if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
		if(x==y) return x;
		for(int i=19;i>=0;i--)
			if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
		return f[x][0];
	}
	int dis(int x,int y){
		return dep[x]+dep[y]-dep[lca(x,y)]*2;
	}
	int query(int x,int p){//求出 x 子树中的所有点到 p 的距离和 
		int res=s[x]*(dep[x]-1)+t[p]-t[x];
//		debug("qwq res=%lld x=%lld p=%lld\n",res,x,p);
		if(lca(x,p)!=x) res=(dep[x]-1)*s[x];
		res=h[x]-s[x]+s[x]*dis(1,(lca(x,p)==x?p:x))-2*res;
		if(lca(x,p)!=x) res+=s[x]*dis(p,x);
//		debug("res=%lld x=%lld h%lld s=%lld lca=%lld\n",res,x,h[x],s[x],lca(x,p));
		return res;
	}
}
 
void check_s_t(){
	debug("checking\n");
	for(int i=1;i<=n;i++) debug("i=%lld s=%lld t=%lld h=%lld\n",i,s[i],t[i],h[i]);
}
 
bool Men;
 
signed main(){
	debug("%.8f\n",((&Men-&Mbe)/1048576.0));
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		std::cin>>u>>v;
		a[u].push_back(v),a[v].push_back(u);
	}
	ST::init(1);
//	debug("check:%lld\n",ST::query(4,1));
//	check_s_t();
	std::cin>>q;
	while(q--){
		int x,y;
		std::cin>>x>>y;
		if(dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y);
		int k=ST::lca(x,y);//x y 的 lca 
//		debug("k=%lld\n",k);
		int m=ST::dis(x,y)/2;//阈值 
		int _x=ST::kth(x,m);//树上阈值级祖先 
//		debug("lca=%lld 阈值=%lld kth=%lld Q1=%lld Q2=%lld Q3=%lld 大家觉得呢:%lld\n",k,m,_x,ST::query(_x,x),ST::query(1,y),ST::query(_x,y),114);
		int ans=inf;
		if(_x==k) _x=ST::kth(x,m-1);
		chkmin(ans,ST::query(_x,x)+ST::query(1,y)-ST::query(_x,y));
//		chkmin(ans,ST::query(_x,x)+ST::query(1,y)-2*ST::query(_x,y));
//		if(ST::dis(x,y)&1) _x=f[_x][0],chkmin(ans,ST::query(_x,x)+ST::query(1,y)-2*ST::query(_x,y));
		std::cout<<ans<<"\n";
	}
//	debug("%.11lfms %.8f\n",clock(),(clock()/CLOCKS_PER_SEC)*1e3);
}
/*
North London forever
*/