数数论论
被 ymh 的数学课干爆了
模运算
整数意义下的模运算
对于 \(n_1,n_2\)，我们称其在模 \(p\) 意义下相等当且仅当对于 \(n_1=k_1p+r_1\)，\(n_2=k_2p+r_2\)，其中 \(k_1,k_2,r_1,r_2\) 为整数，\(0\le r_1,r_2<p\)，满足 \(r_1=r_2\)。整数在模 \(p\) 意义下的结果指的是最小与其相等的自然数。
有理数意义下的模运算
当运算对象为整数时，运算规则应与整数意义下的模运算相同。
可以肯定，满足上面要求的有理数意义下的模运算是存在的，只不过无法写出其的定义。
实数意义下的模运算
与有理数意义下同理。
模运算与除法
不难发现，加减乘在模运算下都有十分良好的性质。下面研究除法下的性质。
如果我们能求出 \(ax\equiv 1\) 的整数解，就可以说明 \(a^{-1}\equiv x\) 了。
剩余系
类似线性基的定义，模 \(p\) 意义下的完全剩余系是一个大小为 \(p\) 的集合，对于集合中任意两个数 \(r_1,r_2\) 都不满足 \(r_1\equiv r_2(\bmod p)\)。
既约剩余系（简化剩余系）是完全剩余系的一个子集，对于其中任意 \(r_1\)，满足 \((p,r1)=1\)。
性质
若 \(\{r_0,r_1,\cdots,r_{p-1}\}\) 是 \(p\) 的一个完全剩余系，则对于 \((a,p)=1\)，满足 \(\{ar_0,ar_1,\cdots,ar_{p-1}\}\) 是 \(p\) 的一个完全剩余系。
既约剩余系有着完全一致的性质。
威尔逊定理
对于质数 \(p\)，满足 \((p-1)!\equiv -1(\bmod p)\)。该定理可逆。
证明待补。
威尔逊定理的高斯推广
令 \(A=\{1,2,4,p^k,2p^k\}\)，则 \(a\) 的既约剩余系中的乘积：
-
\(a\in A\) 时，\(m\equiv -1\)。
-
\(m\equiv 1\)。
证明待补。
费马小定理
对于质数 \(p\) 和 \((a,p)=1\)，满足 \(a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\)。
证明
构造 \(p\) 的一个不完全剩余系 \(A=\{1,2,\cdots,p-1\}\)，相应的得到 \(B=\{a,2a,\cdots,(p-1)a\}\)，这也是 \(p\) 的一个不完全剩余系。
得到 \(\prod A\equiv\prod B\)。即 \((p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)!\)，根据威尔逊定理，\(1\equiv a^{p-1}\)。
得证。
考虑费马小定理的两个限制，\(p\) 是质数保证了使用威尔逊定理的正确性，\((a,p)=1\) 保证构造完全剩余系的正确性。
欧拉函数
欧拉函数 \(\varphi(m)=\sum\limits_{i=1}^m[(i,m)=1]\)。
性质
case1
欧拉函数是积性函数。
证明：剩余系的复合
称 \(Z_m\) 为模 \(m\) 的完全剩余系，\(Z^{*}_m\) 为模 \(m\) 的既约剩余系。
####### 完全剩余系的复合
对于 \((m_1,m_2)=1\)，令 \(m=m_1m_2\)，则 \(Z_m=m_2Z_{m1}+m_1Z_{m2}\)，即对于每一对数 \((x,y)\) 满足 \(x\in Z_{m1}\) 且 \(y\in Z_{m2}\)，都有 \(m_1x+m_2y\in Z_m\)。同时该条件可逆。
证明待补。
####### 既约剩余系的复合
内容与完全剩余系的复合完全一致。
考虑和欧拉函数的关联，显然 \(\varphi(m)\) 就是 \(m\) 的既约剩余系的大小。因此本条结论等价于欧拉函数是积性函数。
######## 证明
令 \(m\) 的既约剩余系 \(M\) 是 \(Z_m\) 的一个子集。要求证明 \(Z^{*}_m=M\)。
分别证明充分性和必要性即可。
case2
\(n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\)。
证明等学会酷炫反演魔术后再来证。
case3
令 \(p\) 是将 \(n\) 唯一分解后的质数集合，则 \(\varphi(n)=n\times\prod\limits_{i=1}^s\dfrac{p_i-1}{p_i}\)。
证明待补。
欧拉定理
对于 \((a,p)=1\)，满足 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1(\bmod p)\)。
证明
几乎与费马小定理完全相同的套路，但是此时 \(p\) 不一定是质数，因此我们需要避开 \((p-1)!\)，选择将费马小定理证明中的完全剩余系改为既约剩余系。然后利用模运算的性质进行化简即可。
扩展欧拉定理
你先别急，让我先急。
与模运算下除法的关系
对于 \(ax\equiv 1(\bmod p)\)，将其解称为 \(a^{-1}\)，即 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。
可以发现，有整数解的条件是 \((a,p)=1\)。
这并不是平凡的。
令 \(d=(a,p)\)，想证明 \(d\ne 1\) 时，方程无整数解。
设其有整数解，为 \(k(0\le k<p)\)，则 \(mk\equiv 1\)，则 \((mk,p)\ge d\)，不妨设 \(mk=tp+1\)，则 \((tp+1,p)\ge d\rightarrow (tp+1,tp)\ge d\)。
这与基本定理 \((a,a+1)=1\) 相悖，假设不成立。
gcd
欧几里得算法
若 \((a,b)=1\)，则 \((a^n-b^n,a^m-b^m)=a^{(n,m)}-b^{(n,m)}\)。
若 \(n^a\equiv n^b\equiv 1(\bmod p)\)，则 \(n^{(a,b)}\equiv 1(\bmod p)\)。
基于值域预处理的快速 gcd
线性筛
定义 \(low(i)\) 为 \(i\) 的最小质因子，对于每个数筛去 \(ax\)，\(x\in prime\) 且 \(x\le low(a)\)，标记 \(low(ax)=x\)。
你先别急，让我先急。
二次剩余
\(n\) 被称作二次剩余当且仅当 \(x^2\equiv n(\bmod p)\) 有解，其中 \(p\) 是奇质数。
阶
\(m\) 在模 \(p\) 意义下的阶定义为 \(\delta_p(m)=\min(n:m^n\equiv 1)\)。
一个数存在阶的充要条件与 \(mx\equiv 1\) 有解的条件相同，即 \((m,p)=1\)。
性质
case1
对于任意 \(1\ne i,j\ne\delta_p(m)\) 且 \(i\ne j\)，满足 \((m^i,m^j)=1\)。
证明待补。
case2
若 \(m^x\equiv 1\)，则 \(\delta_p(m)|x\)。
证明待补。
case3
对于 \((a,p)=(b,p)=1\)，\(\delta_p(ab)=\delta_p(a)\delta_p(b)\) 成立的充要条件是 \((\delta_p(a),\delta_p(b))=1\)。
证明待补。
case4
对于 \((a,p)=1\)，则 \(\delta_p(a^k)=\dfrac{\delta_p(a)}{(\delta_p(a),k)}\)。
证明待补。
原根
若 \((m,p)=1\)，\(m\) 是模 \(p\) 的原根当且仅当 \(\delta_p(m)=\varphi(p)\)。
性质
你先别急，让我先急。
二次剩余及其解的数量
考虑一个二次剩余 \(n\)，\(x^2\equiv n(\bmod p)\) 的解 \(0\le x<p\) 的数量。
首先特判 \(n=0\)，此时它只有一个解 \(0\)，以下所有讨论建立在 \(n\ne 0\) 的基础上。
考虑两个不同的解 \(x_0,x_1\)，其满足 \(x_0^2\equiv x_1^2\equiv n\)。
得到 \((x_0-x_1)(x_0+x_1)\equiv 0\)。
对这个式子分三种情况讨论：
- \(p|x_0-x_1\)
显然，这不可能。
- \(p|x_0+x_1\)
得到 \(x_0+x_1\equiv 0\rightarrow x_0\equiv -x_1\)，即任意两个不同的解在模 \(p\) 意义下互为相反数，因此此时解的数量为 \(2\)。
- 上述两种情况不成立，且 \(p|(x_0-x_1)(x_0+x_1)\)
很难不发现奇质数 \(p\) 满足 \((x_0-x_1,p)=(x_0+x_1,p)=1\)，这种情况不存在。
因此，二次剩余 \(n\) 的不同解的数量为 \(2\)，并且互为相反数。
