linear algebra(3)

linear equations

研究 \(n\) 个 \(n\) 元线性方程的解的数量判定。

column picture

将线性方程组视为对列的线性组合，考虑其 column picture。

case1：column vectors are linear independence

此时有唯一解。

考虑将这些列向量作为基以后张成的空间，由于其线性无关，所以必定是一个 \(n\) 维空间，必然有解且唯一。

case2：otherwise

判定答案向量是否在其张成的空间中，但这可能不好判定。对于张成该空间的一组在列向量中的基，如果加上答案向量后这组向量线性无关，则无解；否则有无数解。

linear algebra(1) 中提到了线性方程组若多解必然为无数解。

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