[3B1B]线性代数的本质

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向量

空间中的箭头，指导我们如何从起点走到终点。

从二维向量开始考虑，例如 $\mathrm{transform}[2,3]$。

三维向量同理，$\mathrm{transform}[2,3,4]$。

向量相加时，考虑本质，$\mathrm{transform}[a,b]+\mathrm{transform}[c,d]=\mathrm{transform}[a+c,b+d]$。

向量数乘，相当于将一个向量缩放，代表缩放的数称为标量。线性代数中，数字的主要作用就是缩放向量，因此通常可以将两者互换。同样考虑本质，$a\times \mathrm{transform}[b,c]=\mathrm{transform}[ab,ac]$。

线性组合，张成的空间和基

考虑将一个向量坐标 $\mathrm{transform}[2,3]$ 视作两个标量 $2$ 和 $3$。将 $x-y$ 坐标系上指向正右方，长度为 $1$ 的向量称作 $i$ 帽，$j$ 帽同理。于是我们可以将 $\mathrm{transform}[2,3]$ 看作 $i$ 帽和 $j$ 帽的缩放和组合得到。

所有的向量坐标都可以视作对 $ij$ 的缩放组合，所以将 $ij$ 称为 $x-y$ 坐标系的基向量。

在二维平面上选择不同的一对基向量 $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$，如果它们不共线，则 $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ 能通过缩放组合得到平面上的所有二维向量。注意，用两个标量描述某一个二维向量完全取决于基向量。

前半句话考虑固定某一个基向量，让另一个基向量随意缩放，那么可以得到所有在某条直线上的向量坐标。

$\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ 的线性组合被定义为 $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$。

但是考虑如果两个被作为基向量的初始向量 $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}$ 共线，我们就只能得到与它们共线的所有向量 。更坏的，如果是两个零向量，只能得到原点。

对于所有给定向量进行线性组合得到的向量集合称为这些向量张成的空间。

考虑多个向量时，可以将这些向量看作点。于是联系上面，一般情况下，两个二维向量张成的空间是整个二维平面。

更一般地来考虑三维空间。两个三维向量张成的空间是一个过原点平面。一般的，三个三维向量张成三维空间，一种特殊情况是第三个向量落在前两个向量张成的平面上，此时只能张成一个过原点的二维平面。其它还有诸如共线、同为零向量的特殊情况。

对一般情况的一种理解：不断缩放第三个向量，是前两个向量张成的平面不断移动。

对于若干的初始向量，如果去掉至少一个向量它们张成的空间不变，我们就称这些向量是线性相关的。即存在某一个向量 $\overrightarrow{w}$，其可以表示成其它向量的线性组合。类似三维平面中第三个向量落在前两个向量张成的平面上的情况。

类似地，我们可以定义一些向量线性无关。

现在是时候给出基的严格定义了，空间的一组基被定义为张成该空间的一个线性无关的向量集合。

矩阵与线性变换

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