ABC237Ex

偏序集

对于在集合 \(A\) 上的二元关系 \(R\)，我们称 \((A,R)\) 是一个偏序集，当且仅当：

• \(R\) 满足自反性，\(aRa\)，\(a\in A\)。

• \(R\) 满足反对称性，\(aRb,bRa\rightarrow a=b\)，\(a,b\in A\)。

• \(R\) 满足传递性，\(aRb,bRc\rightarrow aRc\)，\(a,b,c\in A\)。

例如，\((\mathbb{R},\le)\) 就是一个偏序集。

链与反链

若对于 \(A\) 的子集 \(s\)，满足 \(\forall a,b\in s\)，\(aRb\) 或 \(bRa\)，就称 \(s\) 是链。

相应地，若 \(\forall a,b\in s\)，不存在 \(aRb\) 和 \(bRa\)，就称 \(s\) 是反链。

最小链划分

若存在 \(k\) 个不同子集 \(\{s_i\}\)，如果 \(\cup s_i=A\)，则称 \(\{s_i\}\) 是 \(A\) 的一个链划分。

使 \(k\) 最小的链划分被称作最小链划分。

Dilworth theorem

对于任意有限偏序集，其最大反链中的元素数目等于最小链划分的元素数目。