梦熊四月 csp-s 模拟赛2 T2 排序

小 B 想要对一个长为 \(n\) 的序列 \(A\) 排序。已知 \(A\) 中只包含 \(0,1,\cdots,n-1\) 且对任意 \(i\ne j\) 有 \(A_i\ne A_j\) 且 \(n\) 为 \(2\) 的次幂。
为了排序，小 B 只想用以下两种操作：
交换相邻的两个位置，也就是说选择 \(1\le i\le n-1\) 并且交换 \(A_i,A_{i+1}\) 。
选择一个整数 \(x\)，将每个 \(A_i\) 都替换为 \(A_i\oplus x\) ，这里 \(\oplus\) 为二进制按位异或操作。
请问最少需要多少次操作才能给整个序列排序？
\(n\le 2^{22}\)。时间限制 3s。

很好的题，考察了推性质的能力。

不难发现二操作最多进行 \(1\) 次，因为异或具有结合律。

现在重点来研究一下二操作。

令 \(n=2^k\)，显然 \(x\le n\)，根据 \(p\ne q\) 时 \(p\oplus x\ne q\oplus x\)，发现异或后的序列是原序列的一个置换。注意，当 \(n\) 不为 \(2\) 的次幂时这一点是不满足的，\(n=2^k\) 保证了映射的定义域和值域相同。

因此最优的方法一定是通过异或 \(x\) 后得到原序列的一个置换，然后反复应用操作 \(1\)，所以再来看看操作 \(1\)。

结论：操作 \(1\) 最少需要应用 \(s(A)\) 次，\(s(A)\) 代表 \(\{A_i\}\) 的逆序对数。

证明可以看 火柴排队。

所以我们只需要找到 \(x\)，使得 \(\{A_i\oplus x\}\) 的逆序对数最小即可。

这个数据范围明示 \(O(n\log n)\)，拆位考虑。

如果 \(x\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，当且仅当 \(\{A_i\oplus 2^i\}\) 的逆序对数有所减少。

证明

首先我们来证明对于两个数 \(A_i,A_j\)，两者在数组中的相对位置只会至多发生一次改变。

不失一般性地令 \(A_i<A_j\)。设两数的二进制下最高的出现不同的是第 \(p\) 位。

显然 \(x\) 二进制下的 \(p+1\sim\infty\) 位我们都不关心，现在来讨论 \(x\) 二进制下第 \(p\) 位的数。

• 若 \(x(p)=1\)，此时由于 \(A_i(p)\ne A_j(p)\)，所以两者可能会产生相对位置的交换，不难发现，此后无论 \(x(0)\sim x(p-1)\) 取何值都不会产生第二次交换。

• 否则 \(x(p)=0\)，同样，无论 \(x(0)\sim x(p-1)\) 的取值，都不会产生交换。

由于 \(A_i,A_j\) 的相对位置只与 \(x(p)\) 有关，所以可以认为 \(x\) 在二进制下各位取值对答案的贡献，每一位都是不相关的、独立的。

因此，可以按照上面所说的贪心。

怎么统计逆序对数是否减少？

假设我们目前在考虑 \(x\) 的第 \(p\) 位，那么两个数的相对位置可能改变当且仅当对于 \(q>p\)，\(A_i(q)=A_j(q)\)，于是我们就可以利用这个性质，方便快捷的统计出对于一个数来说，它的新逆序对数会是多少。

当然，本文中的所有证明都不是那么的严谨，严谨的证明需要群论知识。