倍增并查集

如果你既会倍增，又会并查集，那你一定会倍增并查集吧！

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数据范围明示 $O(n^2)$ 无法通过。

众所周知，倍增是 $O(\log n)$ 的，并查集近似 $O(n)$ 的，它们结合一下不就能过了吗？

先来重新考虑一下倍增的本质。

倍增

倍增最经典的用法是 ST 表。我们将一个区间拆成两个长为 $2^k$ 的区间，维护每一个区间的信息，以便于 $O(1)$ 回答。

这个做法中最重要的一步是把长区间拆成小区间，并且必须确保两个小区间的和能合并得到大区间的答案，即我们维护的东西需要满足可合并律。即我们将大区间拆成的小区间可以有交，但是其并集必须是原来的大区间。

比如求 lca 时，我们正是根据两点往上跳后的 lca 与原来相同这一性质进行合并。

回到这道题。我们发现对于每个点直接维护一个并查集是 $O(n^2)$ 的，问题的根源在于每次操作需要对多个点更新并查集，并且更新后的祖先是相同的。这种东西显然可以优化。我们令 $f_{i,j}$ 代表从 $i$ 开始长度为 $2^j$ 的区间在并查集上的祖先是谁。

考虑一下怎么维护。对于两个要合并的区间 $[l_1,r_1]$ 和 $[l_2,r_2]$，设 $len=r_1-l_1+1$，$k$ 为最大的 $2^k\le l$，我们选择合并并查集 $f_{l_1,k}\text{ and }{f}_{l_2,k}$，合并 $f_{r_1-2^k+1,k}\text{ and }{f}_{r_2-2^k+1}$，这样做的正确性是显然的。

我们明确一下同属于一个并查集的区间的含义，这代表所有的这些区间都是完全一致的，这就为我们提供了一种可能的下放操作。我们考虑怎么把第 $k$ 层的关系转移到 $k-1$ 层。显然可以考虑将两个区间拆成四个小区间，其长度正好为 $2^{k-1}$，我们将小区间对应合并，正确性依然是有保证的。

最后，我们看一下第 $k=0$ 层的不同并查集数目，统计答案即可。

总结一下，首先对于每个点开 $\log n$ 个并查集，对于每种操作合并对应的并查集。最后将并查集由第 $k$ 层转移到第 $k-1$ 层，统计答案。

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代码写的出奇的顺利，把细节处理好就可以了。

Another Problem

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考虑这道题和上一道的联系。显然，除了区间相同的定义不一样和某些点强制不同之外，其它没有区别。

于是想一下怎么变成一样的东西。显然可以将序列复制一遍后倒着接在原序列后面，这样就将大部分问题转换成了刚才的问题。现在考虑如何判断强制不同的点，我们只需判断它们是否位于同一个并查集内即可。

至于输出方案，贪心即可。

但是写了才发现贪心有多难。这里借鉴了 syz 的处理思路，将存在矛盾的集合连边，从头开始对各个位置进行赋值，连边的集合中所有已经赋过值的显然会对当前赋值产生一些限制。具体而言，我们只能贪心的填这些值的 $\mathrm{mex}$，注意不考虑 $0$。

需要注意的细节较多，要将序列前半部分和后半部分的对应点放到同一个集合中，但是不放也能过，感觉是数据水了。

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